若函数f满足条件：当x1，x2∈[-1，1]时，有|f-f|≤3|x1-x2|成立，则称f∈Ω．对于函数g=x3，h=1

题文

若函数f（x）满足条件：当x₁，x₂∈[-1，1]时，有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，则称f（x）∈Ω．对于函数g（x）=x³，h（x）=1x+2，有（ ）A．g（x）∈Ω且h（x）∉ΩB．g（x）∉Ω且h（x）∈ΩC．g（x）∈Ω且h（x）∈ΩD．g（x）∉Ω且h（x）∉Ω 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据题意得：
（1）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁³-x₂³|=|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|
因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3
所以有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得f（x）∈Ω
（2）|g（x₁）-g（x₂）|=|1x1+2-1x1+2|=|x1-x2(x1+2)(x2+2)  |
因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以|1x1+2| ∈[13，1]，|1x2+2| ∈[13，1]
故|x1-x2(x1+2)(x2+2) |≤|x₁-x₂|≤3|x₁-x₂|
所以有|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω
综合（1）（2）可得，g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
故选C

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解析

1x1+2

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）满足条件：当x1，x2∈[.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|