高晓勤 沈小林
【摘要】单级倒立摆控制是一个即复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定系统控制问题。单级倒立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用。针对多变量、非线性、强耦合性的倒立摆系统，运用牛顿动力学方法建立其动力学方程，并进行线性化处理，得到状态空间模型。然后对该模型分别进行LQR控制，在MATLAB环境下进行仿真。实验结果表明，二次型最优控制具有良好的响应性能和算法简单等特点，在实际应用中具有重要意义。
【关键词】单级倒立摆;线性二次型;最优控制;MATLAB
pplication of LQR in Single Inverted Pendulum System
Gao Xiaoqin，Shen Xiaolin
（School of Computer and Control Engineering，North University of China，Taiyuan 030051，China）
Abstract：Single-stage inverted pendulum control is a nonlinear and unstable system control problem that is complicated and of high accuracy and rapidity remands.The mathematical model of single stage inverted pendulum have guidance to study its stability.For multi-variable，nonlinear，strong coupling inverted pendulum system，using Newtonian dynamics method to establish the dynamic equation，and linearization processing to get the state space model.Then using LQR control the model of respectively，under the environment of MATLAB simulation.The experimental results show that quadratic optimal control has the characteristics of good response performance and the algorithm is simple，it is of great significance in practical application.
Keywords：ingle Inverted Pendulum;LQR;optimum control;MATLAB
1.引言
单级倒立摆是一种典型的多变量、非线性、强耦合的不稳定系统，对它的研究可归结为对多变量非线性系统的研究，具有一定的理论价值[1]。从工程应用上讲，卫星的姿态控制、机器人的关节运动控制和起重机械的稳钩装置等都和倒立摆模型有相似之处[2]。所以，对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景和实际意义。
2.单级倒立摆系统的数学模型
2.1 一级倒立摆的数学模型
利用牛顿-欧拉分析方法来对直线型倒立摆系统进行数学建模[3]。
为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将单级倒立摆系统抽象成小车与摆杆构成系统，如图2-1所示。
图2-1 直线倒立摆系统的抽象图
我们不妨做以下假设：
小车的质量M;均匀杆的质量m;小车的摩擦系数b;均匀杆的质心到杆轴心长度l;均匀杆的惯量I;均匀杆与垂直向上方向夹角φ;均匀杆与垂直向下方向夹角（考虑摆杆初始位置为竖直向下）θ。
分别对小车和均匀杆进行受力分析，建立单级倒立摆系统数学模型。
小车水平方向受力：
（2-1）
摆杆水平方向受力：
（2-2）
摆杆竖直方向受力：
（2-3）
可以进行如下处理，设当摆杆与垂直向上方向之间的夹角相比很小时，，，。为了得到控制理論的习惯表达，即u为一般控制量。
2.2 实际应用
在这里，我们参考了一些数据。代入数据得状态方程各矩阵为：
3.倒立摆的二次型最优控制
线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。
找一状态反馈控制律：
使得二次型性能指标最小化：
其中，x（t）为系统的状态变量;t0、tf为起始时间与终止时间;S为终态约束矩阵;Q（t）为运动约束矩阵;R（t）为约束控制矩阵。其中Q、R决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。
为使J最小，由最小值原理得到最优控制为：
式中，矩阵P（t）为微分Riccatti方程：
的解。
如果令终止时间tf=1，P（t）为一个常数矩阵，且P（t）=0，因此以上的Riccatti方程简化为：
最优反馈系数矩阵：
Matlab[4]中提供了专门的求解工具lqr（）来求取K。
4.仿真结果及分析
取不同的Q，R时，研究LQR控制倒立摆摆角和小车位移零状态仿真结果。
设定初始参数为：
其中Q11代表小车位置的权重，而Q33是摆杆角度的权重，输入的权重R是1。
现在改变Q的权值，本次将通过改变小车位置状态变量的权值观察变化。即：
对比仿真结果如图4-1、图4-2所示。
图4-1 零状态响应曲线（一）
图4-2 零状态响应曲线（二）
图4-3 最优零状态响应曲线
比较不同的Q取值时的响应曲线可以得出：当Q11，Q33比值相同时，对于值较大时系统，其响应速度加快，但是超调量加大;反之则响应变慢，但是超调量减小。通过比较，我们选取较优的Q值，如下：
此时的响应曲线如图4-3所示。
从仿真效果可得到：系统经最优反馈后，无论零状态响应或者是单位阶跃响应，小车位移和均匀杆角度都可以在较短的时间内回到平衡状态。
5.结束语
本文针对多变量、非线性、强耦合性的倒立摆系统，运用牛顿力学方法建立其动力学方程，并进行线性化处理，得到倒立摆的状态空间模型。然后，重点基于LQR对一级倒立摆进行了最优控制器的设计;并在MATLAB环境下，对倒立摆系统进行仿真实验，仿真结果表明控制效果良好。
参考文献
[1]Biling S A，Tsang K M.Spectral analysis for nonlinear systems.Part：Interpretation of nonlinear frequency response function[J].Mechanical Systems and Signal Processing，1989，3（4）：341-359.
[2]Zhang H，Billings S A.Analyzing the transfer function of nonlinear systems in the frequency domain[J].J.Mechanism Systems and Signal Processing，1993，7（5）：531-550.
[3]徐國林.单级倒立摆系统的仿真研究[J].四川大学学报，2001.05：38-40.
[4]张志涌，徐彦琴.Matlab教程[M].北京：北京航空航天大学出版社，2000.
作者简介：高晓勤（1991—），女，山西运城人，中北大学计算机与控制工程学院硕士研究生在读。
