柳洪刚 张军
摘 要：球面距离解算是航海学和大地问题计算的一个重要的、基础性内容，可为舰船航迹规划、目标运动要素计算提供基础。以现有大圆距离解算的球面三角公式为基准，对论文构建模型的准确性进行了仿真检验，仿真结果表明，在两点两点间大圆距离不断变化的情况下，该文模型的解算误差始终控制在10-8（m）的数量级上，论文构建的距离解算模型有效，计算精度与球面三角公式相当。
关键词：球面大圆距离 球面三角 积分解算
中图分类号：U666.1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）06（a）-0189-02
在一般航海计算中，通常视地球为圆球体，并在球面上解算大地问题。而在高精度航海计算中，常采用参考椭球体参数，首先将椭球面元素投影到球面，在球面上解算大地问题，再将求得的球面元素按投影关系变换为椭球面上相应的元素[1]。由此可见，无论是一般计算还是高精度计算，球面大地问题解算是重要基础。
球面大地距离主要指的是两点间大圆劣弧长，通常采用球面三角公式进行距离解算。论文以球面距离解算为研究对象，在分析了现有解算从大圆性质特点出发，提出并构建了全新的球面大地距离解算模型。
1 现有大圆距离解算模型简述
据不完全统计，大地问题解算方法目前有70多种[2]。这些方法中比较经典的有直接对大地线微分方程进行积分的方法和利用地图投影理论解算大地问题的方法。第一种方法利用大地线在大地坐标系中的微分方程，直接在椭球面上进行积分运算，这种积分通常不能直接计算，可将大地线微分方程积分问题转化为级数收敛问题或通过高斯法、龙格库塔法等进行数值积分。第二种方法的基本原理是根据不同法则建立椭球面到球面的对应关系，进而在球面上研究大地问题解算，最后转化到椭球面上，贝塞尔大地投影就是其中非常典型的一种方法。
大圆距离解算是大地问题解算的一种特殊情况和基础问题[3]，其是在地球近似球面上研究两点间最短距离的问题。较常用的计算方法主要是基于球面三角的大圆公式。
如图1所示，pN为球面北极，p1、p2为球面上两点，其球面纬度分别为φ1、φ2，球面经差为△λ，大圓弧p1p2的长度为D，α1、α2为球面角。
在地球圆球体上，距离解算问题主要求解两点间大圆劣弧长，因此可归结为解算图1中极球面三角形△p1p2pN，通过球面三角公式：
大圆距离由上式求解，以“m”为单位，则有[4]：
现有模型主要基于球面几何以及极球面三角形解算两点间大圆距离。
论文尝试一种新的思路，即从球面微分三角形△pxpx′py′及球面几何约束条件着手，分析大圆弧几何特性，构建一种新的大圆距离积分解算模型。
2 大圆距离的积分解算模型
在图1中，假设在大圆弧p1p2取任意一段弧长为无限小的圆弧pxpx′，px、px′间的球面纬差为dφ，py′在过py点的子午线上并与px′同纬度，F为px点的大圆弧方位角，这样三角形△pxpx′py′可近似看作球面直角三角形，令点px和py′点纬度差为dφ，则pxpy′长度可表示为：
这种积分求取两点间大圆弧距离的方法不需要两点的经度或经度差信息，只需两点的球面纬度及其中一点的大圆弧方位角，即可实现大圆距离的解算。
3 模型解算的准确性检验
为验证积分法的准确性，以球面三角公式（2）解算的大圆距离为基准，检验该文构建模型的解算误差。令其中一点p1（123.0°N，33.0°N），设置点p2位置，令p2经度变化范围为[123.0°E，125.0°E]，纬度变化范围为[34.0°N，35.0°N]，计算大圆距离的解算误差。此处取地球半径R=6377830（m）。
在p2点的经纬度变化区间内积分法解算的大圆距离如图2所示，误差曲面如图3所示。由图3可见，积分法求解大圆距离的准确度非常高，误差控制在10-7（m）的数量级上。
为进一步验证模型的准确性，两点相对位置、距离不断变化，进行了上百次的仿真验证。另选取一组典型仿真结果如图4、图5所示。其中p1坐标（120.0°E，30.0°N），p2经度变化范围为[120.0°，E，128.0°E]，纬度变化范围为[32.0°N4，0.0°N]，由图可以看出，该文模型的解算误差始终控制在10-8（m）的数量级上。
4 结语
球面大圆距离解算是大地问题解算的一个重要方面。该文完成了积分法解算大圆距离的推导过程及解算的准确性仿真分析。在两点经度未知而大圆方位角已知的情况下，积分法能很好地完成大圆距离解算，且积分法推导出的公式计算相对简单，准确度很高。在一般航海计算中或地图投影将椭球面计算问题转化为球面几何问题后，也可利用积分法进行相关问题的解算。
参考文献
[1] 王建强，胡明庆.贝赛尔大地主题解算分析[J].测绘科学，2012，37（1）：30-31.
[2] 周振宇，郭广礼，贾新果.大地主题解算方法综述[J].测绘科学，2007，32（4）：190-191.
[3] 王志明.混合航线的快速计算法[J].中国航海，2002（1）：37-39.
[4] 范业明，王解先，刘慧芹.大地主题的数值解法[J].工程勘察，2007（1）：61-63.
