耿运博 邹剑飞
摘 要：该文提出了一种简单的磁控忆阻器模型，并利用它设计了一个混沌电路。通过数值模拟计算得到了一个三维带状混沌吸引子，且此时忆阻器的伏安特性曲线不是传统的“8”字形。通过计算系统的相图、分岔图和Lyapunov指数谱，发现调节电容参数或忆阻器初始状态可以实现电路系统在混沌态和各周期态之间的转变，发现调节磁通能使系统出现二周期到四周期再回到二周期的奇特分岔现象。该研究工作对利用忆阻器设计混沌电路并应用于密码通信具有积极的参考价值。
关键词：忆阻器 混沌电路 Lyapunov指数
中图分类号：TN701 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）06（b）-0027-04
电阻器、电容器和电感器是电路中最基本的两端无源电子元件。1971年，美籍华裔科学家Leon Chua（蔡少棠）教授根据电路理论的完备性在理论上预言了第四种无源电子元件——忆阻器[1]。忆阻器的特征物理量忆阻定义为穿过元件的磁通与电荷量之比。这里的磁通不一定需要是外加磁场产生的，根据法拉第电磁感应定律，它可以是元件两端电压对时间的积分。而流经忆阻器的电荷量是电流对时间的积分。因此，忆阻一般来说是时间的函数，它的量纲与电阻相同。因此可以说，忆阻器是具有记忆功能的电阻器。根据这一特点，人们期望发明具有实用价值的忆阻器，用于存储信息。这样它可以在电路断电的情况下，记住当前信息。因此忆阻器具有诱人的应用前景。
然而直到2008年，惠普（HP）实验室的Strukov及其合作者才在实验上第一次用TiO2纳米结构制备出了真实的忆阻器元器件[2]。在此之后忆阻器的实验和理论研究得到了蓬勃的发展。实验上陆续报道了更多种类忆阻器的物理实现[3，4]。Ventra和Biolek等研究人员把忆阻器的理论拓展到了其他记忆元件，如忆容器和忆感器[5，6]。此外，国内外涌现出大量各种基于忆阻器而设计的混沌电路的研究工作[7-12]。由于忆阻器的非线性特性，若把它用在电路中就很容易产生各种复杂而有趣的混沌信号。Itoh和Chua利用忆阻器代替蔡氏二极管设计了多种非线性振荡器[7]。许碧荣用一个忆阻器、一个电感和一个电容构建了一种特别简单的并联混沌电路[8]。袁方等人用HP忆阻器模型设计了一个四阶的混沌电路，并用等效电路实现了理论的计算结果[9]。王伟等人用3个忆阻器构造了一个六阶混沌电路，得到了复杂的双混沌吸引子[10]。利用忆阻器设计的混沌电路在神经网络计算、保密通信方面具有潜在的应用价值。
该文设计了一种含有磁控忆阻器的四阶非线性电路。通过对电路满足的微分方程的分析和数值计算，得到了丰富的相图、分岔图和其他混沌的动力学特征，发现了非传统的伏安特性曲线和奇特分岔现象。我们的研究对于利用忆阻器设计、产生和控制混沌电路系统具有积极的参考价值。
1 忆阻器模型和混沌电路
忆阻器可以分为磁控型和荷控型两种。该文设计的忆阻器模型为磁控型，它的忆阻定义为：M=dφ/dq，其中φ和q分别表示通过忆阻器的磁通和电荷量。忆阻的倒数定义为忆导G=1/M。我们设计的忆阻器的忆导为：
其中，参数k1和k2为大于零的参数，它们依赖于忆阻器材料本身。可以看到忆导随磁通大小是单调递减的关系。磁通为零时，忆导最大（Gmax=k1+k2），忆阻最小。磁通很大时，忆导趋于最小值（Gmin=k1），忆阻达到最大值。不同于前人设计的忆导与磁通的n次方或开方关系[8，9]，该文中的忆导、忆阻和磁通的这种非线性关系简单，没有奇点，不发散，实验上易于实现。
根据欧姆定律，忆阻器的电流-电压关系可以表示为im=Gmv。再根据法拉第电磁感应定律，可得电压和磁通的关系：v=dφ/dq。若在忆阻器两端施加交流电压v=vmsin（2πft），取参数vm=5V，k1=0.1kΩ-1，k1=9.9kΩ-1，画出伏安特性曲线（如图1（a））。从中可以看到明显的“8”字形回滞曲线，这正是实现混沌电路所需要的特征性质。
我们设计的含有忆阻器的电路（如图1（b））。根据基尔霍夫定律和电磁感应定律，可以写出非线性電路满足的微分方程组如下：
其中，v1和v2分别为电容器1和2上的电压;i为电感线圈上的电流，它们的正方向如图1（b）中所示。φ为忆阻器上的磁通。参数C1，C2，L，R1和R2分别为对应元件的电容、电感和电阻值。四分量变量X=（v1，v2，i，φ）构建了一个四阶的非线性电路。要让电路产生周期或混沌信号，需要有源元件。我们假设电阻R1或R2是负的，根据蔡氏电路理论，负电阻可以利用等效电路来设计实现。
令α=1/C1，β=1/C2，γ=1/L，C2=1/R2，方程组（2）（3）（4）（5）可简化为更简洁的形式。以后的计算中，我们取无量纲的参数，这为理论分析和数值计算提供方便。取α=3，β=1，C2=-1，k1=0.1，k2=9.9，初始状态X0=（v10，v20，i0，φ0）=（1，0，0，0），采用四阶Runge-Kutta方法对方程组（2）（3）（4）（5）进行数值计算，可以得到一个混沌吸引子。图2展示了它在相空间的形态，演化时间区间是[500，800]。图2（a）和（b）是混沌的二维投影图，图2（c）是三维空间的立体图，它呈卷曲的带状，可以看到这个混沌有上下界，不会趋向稳定点，也不发散，它是一个稳定的混沌吸引子。图2（d）做出了忆阻器在混沌电路中的伏安特性曲线，这个回滞曲线的轨迹在特定空间处剧烈变化，它不是简单光滑的“8”字形，这与前人所得结果显著不同。
若作电压或电流的时域波形图，可以看到电流和电压貌似周期的振荡行为，这是一种伪随机信号，进一步说明系统处于混沌状态。根据Jacobi方法，计算得到系统的4个Lyapunov指数LE=（0.0732，0.0023，-0.0050，-9.8793）。可以看到最大LE指数为正值，中间两个指数近乎为零，第4个LE指数是绝对值较大的负值，且4个指数之和小于零，这证明了系统是混沌吸引子。
2 混沌系统的动力学行为分析
令dX/dt=0，由方程组（2）（3）（4）（5）可得到系统的平衡态解Xs=（0，0，0，φc），其中磁通φc是任意常数。所以系统的平衡态在四维空间不是一个稳定点，而是一条直线。把方程组（2）在平衡态附近线性化，得到Jacobi矩阵。
在取之前的參数值和初始状态下，式（7）中系数α1=43.2，α2=-17.58，α3=29.18，△2=-556.184系统同时满足不稳定性和耗散条件。计算Jacobi矩阵对应的四个特征值分别为λ=0.3191±1.606i，0，-29.8182其中有一对实部为正数的复数根，根据微分动力系统理论，该平衡点是不稳定的焦点。
调节电容器1的电容，即改变参数α可以实现系统在混沌态和周期态之间的转变。设其他参数和初始状态与前文一样。图3展示了α取不同值的时候，电流i和电压v1构成的相图，通过数闭合的极限环绕零点的圈数，可得系统分别出现单周期态、双周期态和四周期态。计算可得这3个周期态的最大Lyapunov指数都为零。图3（d）中i-v1相轨迹没有形成闭合曲线，计算得它的最大Lyapunov指数为0.0815，但总的指数和小于零，因此这是混沌态。调节其他电容器、电感或电阻等参数，电路系统也能实现周期态和混沌态的转变。
系统状态随参数的变化关系可以很直观地表现在分岔图上。设其他参数和初始条件不变，图4（a）是变化参数α得到的分岔图，其中纵轴是电压v1的局部最大值。数据采集的时间区间是[800，900]。当电容较小，即参数α较大（α>4.19）时，v1大于零的局域最大值v1max有2个，系统处在单周期态。随着电容变大，参数α变小，系统通过分岔方式依次进入双周期态（4.19<α<3.92）、四周期态（3.92<α<
3.853）、八周期态等，最终进入混沌态。而且在混沌态之间还存在大小不一的周期窗口，例如区间1.805<α<2.188和3.178<α<3.245为单周期窗口。整个分岔图显示了混沌的普遍的分形特点，但单周期态有多个局域最大值则是本文中混沌的新型特征。
图4（b）是变化参数α得到的相应Lyapunov指数谱。图中按大小顺序只画出了3个指数LE1、LE2和LE3，第四个负的指数LE4由于太小没有在图中显示。可以看到，指数谱随参数α变化的特征与分岔图是一致对应的。最大指数LE1大于零时对应系统处在混沌态，最大指数LE1等于零时对应系统处在周期态，无Lyapunov指数谱（α<0.86）时对应系统处在发散态。
忆阻器构成的混沌电路的另一个重要特点是系统的状态敏感地依赖于忆阻器的初始状态。图5展示了其他参数同图2中的取值，初始磁通φ变化时的分岔图和Lyapunov指数谱。图5（a）显示当0.926<φ<0.993时系统总体是处在混沌区间的，当然其中也有很小的区间是周期窗口。当φ增大，系统进入周期态，φ=0.996和φ=1.006分别对应四周期态和二周期态。当φ继续增大到大约[1，0.1，1.03]在区间内时，系统并没有直接进入单周期态，反而重新分岔为四周期态。这与传统的分岔过程不同，这是该文的一个新颖结果。随着磁通φ的继续增加，系统再回到双周期态、单周期态，最终进入平庸的稳定状态。图5（b）中的Lyapunov指数谱中指数大小和变化行为也印证了分岔图的结果。
3 结语
该文设计了一种简单的忆阻器模型并基于它构造了一个混沌电路，通过选取合适的参数和初始条件，得到了带状混沌吸引子和多极值的周期态相图。根据平衡点的稳定性、分岔图和Lyapunov指数谱进一步分析了混沌电路的动力学行为特征，发现调节电容参数或忆阻器的初始状态等可以使系统处在不同的状态，并且调节磁通使系统的分岔出现了二周期到四周期再回到二周期的奇特现象。我们的研究对于利用忆阻器设计混沌电路并应用于密码通讯具有积极的参考价值。
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