骆芊茜
摘 要：要求建立一个两自由度（2R）的机械手臂模型，具体参数参照个人手臂数据设置，实现打磨功能。在设定的运行距离内可实现在墙壁上沿x轴方向直线运动（y方向保持不变），打磨速度恒定，打磨力度保持不变（fx，fy恒定）。通过位置反解的几何方法由末端执行器的位置反解出关节变量θ，再运用静力学和逆运动学求解得到关节力矩，并用Matlab软件仿真出机械臂模型的电机输出力矩与时间的关系曲线。
关键词：逆雅可比矩阵 逆动力学 几何分析 拉格朗日方程
中图分类号：TP181 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2021）02（c）-0100-05
Design of Two-degree-of-freedom Grinding Robot
LUO Qianqian
（Liangxin College， China Jiliang University， Hangzhou， Zhejiang Province， 310018 China）
Abstract： It is required to establish a two-degree-of-freedom （2R） mechanical arm model， and the specific parameters are set according to the personal arm data to achieve the grinding function. Within the set running distance， the wall can move in a straight line along the x axis （y direction remains unchanged）， the grinding speed is constant， and the grinding strength remains constant （fx， fy is constant）. The geometric method of inverse position solution was used to solve the joint variable θ from the position of the end-effector， and then the joint torque was obtained by using statics and inverse kinematics. The relation curve between the motor output torque and time of the manipulator model was simulated with MATLAB software.
Key Words： Inverse Jacobian matrix; Inverse dynamics; Geometric analysis; Lagrange equations
1 機械臂模型及实现功能
打磨机械臂模型为两自由度的两连杆平面机械臂，可在设定的运行距离内在墙壁上沿x轴方向沿直线运动，打磨速度恒定，即vx=C，vy=0（C为常数），打磨力度保持不变（fx，fy恒定）。定义机械臂长度为a1，a2;质量m1，m2均匀分布，且质心在各连杆的中心，且关节转动无摩擦，具体模型如图1所示。
2 模型建立
首先建立平面二连杆机械臂的DH参数表见表1[1]。
2.1 逆动力学
动力学可以分为正动力学和逆动力学，正动力学通过给定机器人的几何和惯性参数及其关节转矩和力，求得关节加速度，而逆动力学则是通过给定机器人的几何和惯性参数及关节运动（即其位置、速度和加速度），计算相应的关节转矩和力[2]。
该文已知机械臂末端运动方向、位置以及运动速度，运用逆运动学和向内迭代法，求所需的各关节力矩，利用拉格朗日方程，定义多连杆系统动能和势能之间的差值：
L=T-U （1）
经整理可得：
（2）
式中，I为n×n阶的广义向量矩阵：
（3）
：离心加速度和哥氏加速度的n维向量。
向量h也表示为，其中n×n阶矩阵C的元素为
θk （4）
：重力加速度的n维向量;
：广义力的n维向量。
通过上述公式可知，知道各关节的转动角度、速度以及加速度，即可求得各关节该时刻瞬态的力矩 大小。
2.2 关节位置求解
给定末端执行器的方向和位置去确定关节变量，解决将末端执行器在操作空间的运动转化为关节空间运动的问题。可以通过代数和几何关系来找到逆运动的封闭解。由题意打磨机械臂打磨速度恒定，沿X轴做直线运动，末端位置为已知值，通过位置反解的几何解法可得到θ1、θ2。
几何分析如图2所示。
已知机械臂末端位置为（x，y），由三角函数定理可知[2]：
（5）
（6）
（7）
即可求得θ1、θ2：
（8）
（9）
2.3 关节速度求解
末端执行器是串联机械臂的第n个连杆，它的位置和方向都是随着变化而变化的，由末端位置（x，y），我们可以推导二连杆雅可比矩阵J如下[3-4]：
（10）
我们保证关节二，即雅可比矩阵是满秩非奇异的：，则已知末端速度vx=C，vy=0（C为常数），沿x轴做匀速直线运动，可求得关节速度，：
（11）
经整理计算可求得：
（12）
得到：
（13）
（14）
2.4 关节加速度求解
由于末位置是沿x轴做匀速直线运动，所以末位置的加速度为0，并且只知各关节的瞬时速度，不知道各关节速度随时间变化函数，无法求导得各关节的加速度函数，在此我们利用Matlab，选择小步长Δh，通过计算各时间点前后速度差求得瞬态加速度ai：
（15）
3 模型实现
Matlab对于连续性模型求解存在一定的难度，但可以实现模型离散化求解。我们通过逆动力学求得机械臂瞬态各关节力矩，通过已知末位置随时间的变化，选取短步长进行离散化，求得各个时间点的各关节力矩大小，即可得各关节力矩随时间变化曲线[6]。
假定二连杆m1=m2=0.5 kg;l1=0.6 m;l2=0.7 m;机械臂末端沿x=-0.75 m处以速度0.05 m/s匀速直线运动至x=0.75 m处，总距离为1.5 m;总历时30 s。
Matlab仿真得：关节输出力矩随机械臂末端位置变化曲线，以及关节输出力矩随时间变化曲线，见图3、图4。
关节角度（单位：度）随时间变化关系如图5所示。
关节1、2的角度（单位：弧度制）、角速度、角加速度随时间变化关系见图6（左图为关节1，右图为关节2）。
由图6可以看出，该机械手臂关节1输出力矩总体比关节2输出力矩大，但关节2的角速度与角加速度比关节1大。
此外该文还做了一定尝试比较，通过改变两臂的质量为m1=m2=3kg，发现如图7所示。
可以看出质量增大后，两个关节输出的力矩都有增大。
当改变墙与机械臂基座距离时，y=0.9 m时，力矩输出如下图8：
由上图可以发现两个关节的力矩均有所增大。
4 结语
本文运用了几何分解，逆雅可比矩阵，逆动力学等知识，由机械臂末端信息反推得瞬态的角度、角速度以及加速度，并求各关节瞬态力矩，利用Matlab软件对时间进行离散化，对二自由度的打磨机械臂进行了仿真，得出电机输出力或力矩与时间的关系曲线。我们还改变机械臂的部分参数，观察各参数变化对机械臂输出力矩的影响。
参考文献
[1] Subir Kumar Saha. 机器人学导论[M]. 哈尔滨工业大学出版社，2019：12-2.
[2] 郑棋棋，汤奇荣，张凌楷，等.空间机械臂建模及分析方法综述[J].载人航天，2017，23（1）.
[3] 李克先.硬岩大跨地铁车站开挖稳定性与支护力学行为研究[D].山东大学，2018.
[4] 蔡自兴，谢斌.机器人学[M].北京：清华大学出版社， 2020： 1-8.
[5] 王磊，陈辰生，张文文.两自由度机械臂动力学模型的建模与控制[J]. 信息通信， 2020：41.
[6] 刘志铖.基于MATLAB的機械臂动态仿真研究[J]. 制造业自动化，2017，39（10）：42-44.
