何世宇 谭红 任意飞
【摘 要】本文运用VaR即在险价值的概念，针对现实生活中的金融投资问题，运用历史数据模型和偏t正态分布模型对公司下一个收益周期的收益情况进行预测，并给出最优的投资金额。运用历史数据方法得出，在投资1000万元的前提下能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少9万元，并且若使一个周期内 VaR>=10万元的可能性不大于5%，初始投资额最多应为1111.11万元。运用偏t正态分布模型得出，当投资1000万元时，可以保证亏损值在95%的置信区间内，不超过7.95万元；如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为1257.86万元。
【关键词】金融投资；非参数检验；历史数据模拟法；VaR
Research on the optimal financial investment base on the VaR
HE Shi-yu Tan Hong Ren Yi-fei
（Department of Computer and Information， Hohai University College，Nanjing Jiangsu，211100，China）
【Abstract】Uses the VaR（Value at Risk） to solve the financial problem in our daily life. We use the historical data model and skewed distribution model to forecast the profit of the next financial period， and provide the best plan to invest. Use the historical data model can draw a conclusion that when the confidence is 95% and put 10 million. The lost no more than 90 thousand yuan. If we want to control the lost under 100 thousand yuan， the best plan is investing 11.1111 million yuan. Use the skewed distribution model can draw a conclusion that when the confidence is 95% and put 10 million. The lost no more than 79.5 thousand yuan. If we want to control the lost under 100 thousand yuan， the best plan is investing 1257.86 million yuan.
【Key words】Financial investment；Non-parametric test；Historical data model；Skewed distribution model；VaR
0 前言
如今，金融投資可谓与我们生活息息相关，通过合理的资产配置，投资者会获得良好的回报。而就企业而言，投资过程中风控显得尤为重要。某公司在金融投资中，需要考虑如下两个问题：
1）准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。它必须根据历史数据估计在下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。
2）如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为多少。
给出该公司在过去一年255个交易日的日收益额（单位为万元）的统计数据， 假定每天结算一次，保持每天在市场上的投资额为1000万元。（具体数据见河海大学数学建模练习题）
1 模型一：历史数据模拟模型
历史数据模拟是最方便快捷的非参数求解VaR方法。其原理是用给定历史时段上所观测到的市场因子变化来表示市场因子的未来变化， 采用全值估计方法即根据市场因子的未来价格水平对资金进行重新估计 ， 计算出资金的价值变化，最后将损益从小到大排列得到损益分布， 通过置信度T分位数求VaR。
至此我们可以得到公式：
Li/N=α（2）
其中Li：收益额从小到大排序对应的序列号；N：表示总的交易日。
首先，我们要对所给的255个交易日进行排序，排序的结果见表1：
表1 收益额升序排名
由表中数据可知，在255个交易日中，收益为-10万元以上的次数有8个，带入公式（2）中，算得p为3.14%。
之后，我们将概率p固定，解方程x/255=p=5%，求得x=12.75，我们比较表1中排名第12和13位的数据，两者VaR相等，为-9万元，有此可得出结论：以95%的置信度保证VaR<=9万元。
经过查阅资料可知，在购买量大于一定数量的情况下，不考虑中介收取的交易服务费，股票与外汇的收益与投资量成正比。因此，我们通过比例关系可以得出，在一个周期内VaR>=10万元的可能性不大于5%的情况下，初始投资额最多应为1111.11万元。
虽然历史数据模拟法方便计算便于理解，但由于其对数据的依赖程度大，即灵敏度过高，其中一个数据的改变可能会对结果产生很大的影响，而且精确度不高因此我们需要建立一个更加可靠的模型。在此之前，我们需要对数据进行一些处理分析。
2 数据处理和分析endprint
由于题目给出的数据较多，我们首先对数据进行预处理，判断这些数据是否符合某种已知的分布，由于正态分布在日常生活中比较常见，我们首先判断其是否符合正态分布。
首先我们通过MATLAB的hist函数画出该组数据的频数直方图（见图1），判断其大体趋势符合正态分布：
之后我们使用cftool对该直方图进行正态拟合得出下图：
该拟合的拟合度R^2=0.6292 ，拟合度较差，最后使用SPSS进行非参数检验，得出结果如下表：
由表中的渐进显著性参数（Asymp. Sig）可得知，其取值为0.028，小于极限值0.05，顾不属于正态分布，其特点是“尖峰厚尾”，对此，我们通过查阅资料，建立了如下模型。
3 模型二：偏t正态分布模型
偏t正态分布模型具有尖峰厚尾特征，因此可以更好的拟合该题所提出的数据，偏t正态分布的密度函数可以表示为：
其中tv为自由度为v的分布，Φ（·）是标准正态分布函数，参数ε，？酌∈R，σ>0，分别是位置参数，形状参数和尺度参数，偏t正态分布记为X～STN（ε，σ2，？酌，v）。显然，当自由度v→∞时，上述概率分布函数即为SN分布的概率密度函数。当偏度参数？酌=0时，将得到自由度为v的t分布的概率密度函数，当自由度v→∞和？酌=0时，该分布为正态分布。经过查阅资料，本文讨论自由度为5的情况，当自由度未知时，可通过极大似然的方法来对其进行估计。在偏正态分布中，有：
其中，V～gamma.
通过matlab我们画出了分布函数：
通过计算，我们得出数据的均值ε=7.4863，标准差σ=9.8520，偏度φ=-0.1307，峰度δ=3.2195，最大值max=33，最小min=-25。
由此我们计算得出下一个周期内的损失的数额超过10万元的可能性为4.48%，以95%的置信度保证损失的数额不会超过9.35万元，并且如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为1069.5萬元。
4 结论
针对第一问，我们分别建立了历史模拟法和偏t正态分布两种模型，用历史模拟法求出在下一个周期内的损失额超过10万元的可能性为3.14%，以95%的置信度保证损失的数额不会超过9万元，如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为1111.11万元；运用偏t正态模型求出的在下一个周期内的损失额超过10万元的可能性为4.48%，以95%的置信度保证损失的数额不会超过9.35万元，在下一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资最多应为1069.5万元。
【参考文献】
[1]杜亚斌.《金融建模》，北京大学出版社，2015.6.
[2]王明高.《尖峰后尾保险损失数据的统计建模》，数学的实践与认识，2014.44（22）：185-194.
[3]朱志娥.《偏t正态数据下混合线性联合位置与尺度模型的参数估计》，高校应用数学学报，2016.31（4）：379-389.endprint
