几何最值问题属于中考题中的热点问题、难点问题，近年一些另类的几何最值问题又出现在中考中，笔者在研究这些所谓的另类几何最值问题时发现其实它们本质是不变的，变的只是形式.下面结合一些具体例子谈谈这一类几何最值问题以及两点思考，恳请同仁指正.
1将军饮马问题
“将军饮马”问题属于最基本的几何最值问题，有两种最基本形式，A、B两点在直线的异侧（如图1），或者A、B两点在直线的同侧（如图2），在直线l上求一点P，使PA+PB最小.
如图1，当A、B、P三点共线时，PA+PB最小.理由是公理：“两点之间，线段最短”，或者说“三角形两边之和大于第三边”.（如图1，取异于P点的另一点Q，构成△ABQ.）这揭示了这一类几何最值问题的本质原理：当三点共线时取得两线段和的最小值.
如图2，当A、B两点在直线的同侧时，利用“轴对称”将此问题转化为图1的情况，问题就得到解决.这揭示了这一类几何最值问题的解决之道：转化思想.
我们可以把将军饮马问题总结为一种模型，求两线段和的最小值，我们不妨记作“a+b”且动点是直线型.
例1（2016年苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图3所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）.
A.（3，1）B.（3，43）C.（3，53）D.（3，2）
解析△CDE的周长为CD、DE、CE三线段和，但CD为定值，所以也就是DE和CE两线段和的最小值，且点E是直线AB上动点，符合将军饮马问题之同侧类型，所以作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，交AB于点E，点E即为所求.根据△D′AE∽△D′OC，AEOC=D′AD′O，所以AE=43，选B.2抛物线问题
例2（2015年河南）如图4，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE.
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
解析（1）y=-18x2+8；（2）PD-PF=2，理由略；
（3）类似例1，△PDE的周长中DE为定值，也就是PD和PE两线段和的最小值，但是点P是抛物线上动点，无法类似例1作轴对称转化，但根据第（2）问，PD可以向PF转化，PE+PD=PE+PF+2，转化为PE+PF的最小值，当E、P、F三点共线时取得线段和的最小值，此时P点横坐标和E点横坐标相同，为-4，所以点P（-4，6）.
我们可以仿照将军饮马问题模型，将此记作“a+b”且动点为抛物线型.解决之道还是转化思想.
此题其实应用了高中数学抛物线的定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做拋物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上.也就是抛物线上的任意一点P到焦点F的距离等于P到准线的距离.自2010年南通和黄冈中考中涉及此类问题后，近几年中考频繁出现，如2011年四川眉山，2012年四川资阳，2014年湖北咸宁，2015年江苏宿迁等等，但所有这些中考题中都不出现“焦点”和“准线”，也不是要求学生用高中数学抛物线的知识去解决问题，而基本都像例2一样设置探索小问，让学生在探索中获得解决问题之道：转化思想.
3胡不归问题
例3（2016年徐州）如图5，平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（0，-3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D.
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12PB+PD的最小值为；
（3）略.
解析（1）抛物线解析式为y=32x2-32x-3，顶点坐标12，-938；
（2）所求的12PB+PD的最小值不再是“a+b”型，而是“a+kb”型.解决之道还是转化思想，将“a+kb”型转化为“a+b”型，如图5，过点P作AB的垂线PH，根据条件，∠PBA=30°，所以PH=12PB，12PB+PD就转化为PH+PD，当D、P、H三点共线时取得线段和的最小值，即DH的长，在Rt△ADH中，∠HAD=60°，AD=32，解得DH=334.
我们可以仿照将军饮马问题模型，将此记作“a+kb”且动点为直线型，解决之道还是转化思想.
此题其实属于古典名题：胡不归问题.近几年中考题也频繁出现，如2007年烟台中考，2009年北京中考，2014年成都中考，2015年内江中考等等.但是和上面抛物线问题一样，不出现“胡不归”，同样是通过题中的条件让学生能将问题转化，转化为学生能够解决的问题.
所以说，所谓的另类几何最值问题其实都是可以转化为学生能够解决的问题，中考中这类题想考查学生的主要还是转化思想，出题者都在这类问题中设置了特殊的条件或者引导了转化的方向，学生只要掌握了基本原理：将军饮马问题，掌握了问题解决之道：转化思想，解决这类几何最值问题就不是难事.
4两点思考
4.1问题逆向的应用
这一类几何最值问题是解决两线段和的最小值问题，逆向思考，有一类求一条线段的最大值问题可以转化为这类两线段和的问题.
例4（2012年济南）如图6，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到O的最大距离为（）.
A.2+1B.5C.1455D.52
解析如图6，取AB的中点E，连接OE、DE，运动过程中，OE和DE是定值，即OE+DE是定值，当O、D、E三点共线时，线段OD取得最大值，即为OE+DE的值.易计算得OE=1，DE=2，所以OD最大值为2+1，选A.
下面一题作为自主练习：如图7，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是.
4.2本质原理最重要
例5（2012年扬州）如图8，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是.
作为一种技巧方法，教师可能会讲如下方法：如图9，将AD、BE延长得到等腰直角三角形△FAB，那么四边形CDFE为矩形，则DE=FC，当FC垂直AB时最小，最小为AB的一半，即DE最小值为1.
但是，当变式为“如图10，两个正三角形△ACD和△BCE，”或者“如图11，以AC、BC为底边的两个等腰三角形△ACD和△BCE”，那么，如图12，将AD、BE延长得到正三角形△FAB或者等腰三角形△FAB，那么四边形CDFE为平行四边形，则DE不等于FC，不能进行转换了.此特色技巧方法就行不通了，不能解决问题了.
如同对于例4，有些老师、有些文章将其方法总结为“取中点”法，让学生遇到此类问题就取中点来解决问题.那么我们来看看下面一题，它是例4的变式.
例6如图13，平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB=2，BC=1，点A和B分别在x轴正半轴和第一象限角平分线上滑动，点C在第一象限，求OC的最大值.
显然，这时取AB的中点E，CE是定值，但OE不是定值，所以取中點是不能解决问题的.
这都是因为没有弄清问题的本质.实际上，例5的本质是这样的：如图14，过D、E作AB的垂线DM、EN，因为是等腰三角形，所以CM等于AC的一半，CN等于BC的一半，所以MN等于AB的一半，所以D、E是在两条距离为定值的直线上运动，当DE和这两条直线垂直时DE最小，即两条直线之间的距离.所以即使如图15，改编成“等腰直角三角形△ACD和等边△BCE，”答案也不变，因为问题的本质不变.此题还可以拓展问：AC为何值时，DE取得最小值？
例4和例6问题的本质是：问题中有三个条件要素是确定的，一是两个动点构成线段AB的长度大小，二是∠AOB角度大小，三是点C位置相对AB来说是确定的.由一和二，根据正弦定理可得△AOB的外接圆大小是确定的.所以问题的本质是，一方面是根据线段AB的长度大小和∠AOB角度大小可以确定三角形外接圆的大小，另一方面点C位置相对AB来说是确定的.所以本质方法应是，如图16，取三角形AOB外接圆的圆心I，则线段OI为定值，等于外接圆的半径2，且三角形BIC是确定的，∠IBC=135°，BI=2，BC=1，所以可解三角形得CI=5，所以当O、I、C三点共线时，线段OC取得最大值，即为OI+CI的值，为2+5.例4的中点只是恰好是外接圆的圆心而已.
对于解题教学，教师在讲授数学问题时应该努力揭示问题的本质，揭示问题体现的数学思想，因为数学思想是数学教学的核心和精髓，只有让学生体会和领悟数学思想，才能提高学生的数学素养.
作者简介徐宏（1982—），男，中小学一级教师，常州市骨干教师；发表多篇文章.
