摘 要：数学规则属于数学客观性知识。在数学教学中，教师立足于本体、整体和逻辑视域，引导学生围绕规则的“源”“序”和“理”展开数学学习，让数学知识的规则枝头绽放学生数学思考、数学探究、数学认知的自由之花。
关键词：数学规则;规则教学;思想自由
学生头脑中数学知识包括客观性和主观性知识。客观性知识指那些不因地域或学习者而改变的数学事实，包括数学概念、规则等。其中，规则是数学概念之间的关系及其规律在人脑中的反应。对于规则，很多教师将目标定位在应用规则解题上，而将规则探索过程简化甚至省略。这种本末倒置的教学，让学生学习始终停留在模仿层面。规则学习属于高阶学习，是理智技能中的典型形式 [1]。探寻规则教学是数学教学的应有之义。
一、规则之“源”，本体视野下的教学建构
对于规则，如果仅停留于教材、教师、教辅，则必然压抑学生数学学习创造性，离开“本源”的数学教学必然是舍本求末的。本体视野下的数学教学建构，必须追寻、追溯、追问规则的本源、源头、源泉。数学规则之“源”不仅指生成之源，即规则是从哪里发端的，而且追溯、回溯规则生长之“源”、生发之“源”，亦即规则是如何衍生、发展的。正如弗赖登塔尔所说，数学不是教结果，而是教过程。
1. 经历规则生发之“源”
德国数学家康托尔说，“数学本质是自由”。教学中，教师要充分发掘学生数学学习的主观能动性，引导学生经历数学规则的生发之源。将数学“冰冷规则”催化为学生“火热思考”。教师要规划规则生长节点，形成生长能级，巧搭生长结构，探寻规则源头所闪烁的人类智慧火花。
比如教学《带有中括号的混合运算》，笔者充分运用学生现实生活。学校社团活动，美术社团有男生8人，女生6人。器乐社团人数是美术社团的2倍。合唱社团有84人，合唱社团的人数是器乐社团人数的多少倍？在学生理解题意的基础上，学生列出了各式算式，如8+6=14（人），14×2=28（人），84÷28=3。这是一种基本方法。也有学生试图列出综合算式，于是出现了基于学生个体规则的列式，如84÷（8+6×2），84÷（8+6）×2，84÷（8+6）×2），84÷[（8+6）×2]等。显然，倒数第二种列式法，学生已意识到新规则必要性。于是，他们试图在原有规则基础上进行创新。这时，教师引入新规，将其纳入原有规则结构之中，让规则得到深度拓展 [2]。
2. 追寻规则生长之“源”
首都师范大学王尚志教授认为，数学讲逻辑推理，更讲道理。对于一些规定性知识，教师必须引导学生追寻规则生长之“源”。让学生由接受规则的奴仆转变为创造规则的主人。教师可通过情境再造、问题导引等方式，引导学生返本归源、探本穷源、饮水思源。学生在追寻规则生长之“源”中，促进自我发展。
比如，学完了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形以及圆的面积计算后，教师可以引导学生追本溯源。梳理平面图形面积的推导过程。从长方形生发平行四边形，从平行四边形生发三角形、梯形等。通过梳理，让学生明晰各平面图形面积的“源”与“流”，从中渗透数学转化规则。这就是，任何数学知识的学习都是将未知转化为已知、陌生转化为熟悉、复杂转化为简单的过程。借助这样的规则，数学知识能够得到不断的演进。
二、规则之“序”，整体知识视野下的教学建构
在数学教学中，教师要站在整体性知识的视角，把握知识横向与纵向关联，把握数学知识的生发性、生长性、生成性节点，顺着数学知识的逻辑演化顺序，进行规则教学。要突破本课知识点、本单元知识点、将规则纳入整体性、结构性知识之中。从某种意义上说，学生的数学学习源于无序，止于有序。因此，教师不仅要把握数学知识之“序”，而且要把握学生的心理之“序”，借助學生思维、认知的发展脉络，实现课程的整体性目标 [3]。
1. 纵向把握，形成规则之“序”
纵向把握规则，就是让数学教学承前启后。基于数学知识本身发展的内在逻辑性、严密性，教师可以采用滴灌渗透方式进行。规则本身是复杂的，为了降低学生认知难度、坡度，通常情况下，教师要将规则分成亚规则、微规则，从而降低规则难度，循序渐进，促进规则学习自然生长，建立规则结构。
以《用数对确定位置》教学为例，在小学低年级学段，比如一年级，经常让学生对物体进行排序，这时教师要引导学生说清楚“从左往右或从右往左第几个”。到了四年级，教师要让学生从两个维度表征物体位置，如第几行第几列，几列几行，（列，行）等。不仅如此，教师要引导学生突破规则迷思，可出示一些小数、分数数对，让学生感悟到：数对不仅可以是整数，也可以是小数、分数等。不仅如此，教师还可以延展，从低年级用“第几个”表示一个方向（数轴）的物体位置，到中年级用“两个数的数对”表示两个方向（平面）的物体位置，再到用“三个数的数对”表示三个方向（空间）的物体位置。从线到面到体，用数对确定位置规则被不断提升。
2. 横向把握，建立规则之“序”
美国著名教育家布鲁纳说：“学习结构，就是要学习事物是如何关联的。”对于数学规则，不仅要从纵向上对其进行不断深化，而且要从横向上对其进行不断勾连。规则不是一成不变、僵化、固定的，而是出于动态的发展中。某些数学规则，只是一种浅层次的规则，当这些浅规则融合在一起，彼此产生关联时，学生就能发展这些浅规则，从而形成更深层次、更本质性的规则。如此，学生认知结构不断被打破，不断从不平衡走向平衡，又从平衡走向不平衡，然后走向新的平衡。由此构筑起动态的、全新的、更高位的规则体系。
比如，当学生在学习《整数加减法》时，其探究出的整数加减法的规则就是“末位对齐”，形成了十进制位值下的“从个位算起”“满十进一”的计算规则;在学习《小数加减法》时，其探究出的小数加减法的规则就是“小数点对齐”;在学习《异分母分数相加减》时，其探究出的异分母分数相加减的规则就是“分母相同”或者说“分数单位相同”。而当学生将这些数学知识整合起来进行审视时，学生就能建构出更为上位、本质的数学规则，这就是“只有计数单位相同才能直接相加减”。这些由于教材编写而人为分割的知识，经过教师横向把握，建立起规则深层之序。
三、规则之“理”，逻辑视野下的教学建构
弗赖登塔尔认为，数学知识有两类：程序性知识和思辨性知识。显然，规则教学应属于程序性知识。不仅要让学生明确规则本身，更要明确规则背后道理，如计算中算理、问题解决中道理等。基于规则之“理”，数学教学要引领学生进行教学建构，追求规则数理共生、共融境界。如果说，规则本身是感性的、发散的，那么，数理则是理性的、严密的。如果说，规则是“知其然”，那么，数理则是“知其所以然” [4]。
1. 过程体验，探寻“数理”之生成
规则不仅仅是“规定性知识”，而且有着内在风景。规则教学要探寻其内在规定性。“数理”是规则依据，是规则道理。在规则尚未形成之时，数理往往是显性的，是规则导航明灯;当规则形成之时，数理则悄然隐身，藏于规则之中、之后。教学中，教师要不断地引导学生进行规则过程体验，把握数理。
比如《3的倍数的特征》，其规则是“各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。如何启发学生将注意的焦点集中于“各个数位上数字的和”？笔者在教学中，出示了一组组交换数字位置的数，比如12和21，123和132、213、231等。通过计算，学生发现，3的倍数的特征不同于2、5的倍数的特征，3的倍数的特征与数字顺序无关。那么，在交换数字过程中，是什么没有发生变化，从而导致它们都是3的倍数的特征呢？学生展开深层思考、探究，通过不完全归纳，形成“3的倍数的特征”的判断规则。这个过程，是学生猜想、验证的过程。在这个过程中，学生能够触摸到数理之脉搏。
2. 多维融合，促进“规则”之建构
如上所述，规则就是一种所要遵循的方法、规则、顺序或程序，它是知识所必须遵循的基本逻辑。通常情况下，规则是对数理的提升、抽象和概括。如果学生在数学学习中没有“明理”，那么学生是很难牢固地掌握规则的。“规则”是解决“怎么做”的问题，而“数理”则是解决“为什么这样做”的问题。在数学教学中，教师可以运用多种方法，促进学生规则建构。
比如，教学两位数乘两位数24×15时，笔者借助多种方式，让学生掌握两位数乘两位数计算规则背后的“算理”。一是借助学生日常生活事理，如一支钢笔15元，买24支钢笔一共需要多少元？二是借助长方形的面积，让学生直观进行推理，长方形的长是24，宽是15，可以将宽是15分成宽是10和宽是5;三是运用乘法的意义进行解释，如求15个24是多少，可以先求5个24是多少，再求10个24是多少，等等。不同方法、手段揭示出相同规则。这种借助类比、归纳推理等不同方式验证、证明，能促进学生对两位数乘两位数规则的建构。数理是规则的基础，是规则赖以成立的数学原理;规则是数理的操作程序，是对数理的提炼和发展、抽象和提升、实验和验证。通过多维融合，让数学规则从感性迈向理性，从或然走向必然。
数学规则深刻地反映着数学的规律，而数学规律则揭示了万事万物的规律（万物皆数）。在数学教学中，教师从本体、整体和逻辑的视域，引导学生主动建构数学规则、创造数学规则，让学生循着规则的“序”“源”“理”展开数学学习。如此，数学知识的规则枝头就一定能够绽放学生数学思考、数学探究、数学认知的自由之花。
参考文献：
[1] 缪晔敏，徐顺湘. 让学生主动建构数学规则[J]. 小学教学研究，2011（7）﹒
[2] 王岚. 深入，成就深度——漫溯数学规则教学更深处[J]. 江苏教育研究，2012（30）﹒
[3] 康文彦. 例谈数学规则的形成及教学策略[J]. 中国数学教育，2018（6）﹒
[4] 曹志国. 循“规”守“则”：多重视域下的小学数学“规则教学”[J]. 中小学教师培训，2018（4）﹒
作者簡介：施宏杰（1976-），本科学历，中小学一级教师，从事小学数学教学。
