颜乙红
摘 要：尊重学生的认知经验，以学定教，引导学生利用“二分法”自主确定三边的长度，探究线段总长在偶数、奇数的情况下，经历猜想、验证、推理的深度学习，学会判断怎样的三条线段才能围成三角形。通过从特殊到一般的不完全归纳法，掌握三角形本质特征——两边之和大于第三边的三边关系。在这一学习活动过程中培养学生学会用数学眼光观察事物、用数学思维思考问题、用数学语言表达想法，发展学生的核心素养。
关键词：三角形三边关系；经验；二分法；以学定教；深度学习
《三角形三边关系》是在学生初步认识三角形特征的基础上，进一步学习三角形的性质。常见的教学策略是：教师提供若干标有长度的小棒，先让学生动手操作，从中选择三根，以此引导学生发现当两根最短的小棒之和大于最长那根时就能围成三角形，接着让学生通过计算、比较两边之和与第三边的关系，进一步发现“三角形两边之和大于第三边”的性质定理。这样设计，仅仅把目光停留在知识与技能的训练层面，一切都在教师预设的“套路”里，学生亦步亦趋，动手了、操作了、计算了，唯独不见思考。站在儿童的角度，不解的是：老师，您那高明的思路哪儿来的？的确，如果没有教师“先知先觉”预设的长短小棒，学生在现实的“裸情境”中能否自主探究出“不是任意的三条线段都能围成三角形”这一认知？能否在自主尝试中不断产生认知冲突，调整方案，“创造”出“长边”“短边”？而“长边、短边”的“诞生”是这一节课的关键。俗话说：教之道在于度，学之道在于悟，有效的学习应该是根据学生的思维水平、知识水平和认知经验以学生定教，促进学生深度学习，提升学生的思维品质。一番思量后，笔者决定提供材料让学生先在家里试一试，看看第二天他们会带来怎样的惊喜。于是，笔者为每个学生准备了一段画在胶片上的线段（长16厘米）（图1），并提出问题：如果把它分成三段，围成一个三角形，該怎么分？按你的想法试一试，如果围成功了，它每一边的长度是多少？（温馨提示：线段也可以自己画，或用小棒代替，为便于研究，边长取整厘米数）
第二天，孩子（48人）的汇报情况分三类：（1）无从下手的占25%；（2）盲目操作围不成的占20.8%；（3）自认为围成功的占54.2%。这说明若教师没有提供特殊数据的小棒，学生很难从边的关系去观察三角形的性质，而突破盲点的有效方法就是让他去做，哪怕失败，也能从中获取经验。笔者请了一位围“成功”的学生来介绍经验。她说：“我先用‘二分法把16厘米分成8厘米和8厘米，接着又把一个8厘米分成4厘米和4厘米，就围成了一个三角形。”听到“二分法”，笔者心中一阵狂喜，这是学生最朴素的数学思考和学习策略！虽然学生的判断是错误的，但思维方法却极具价值！本课属于《认识三角形和四边形》这一单元的教学内容之一，前面用“二分法”学习了《图形分类》《三角形分类》。“二分法”是最基本的分类方法，把具有这个特征的分为一类，把不具有这个特征的分为一类。之所以叫“二分”，是因为每次排除都把所有的情况分成“可能”或“不可能”两种情况，然后抛弃所有“不可能”情况。学生心中的“二分法”显然不是分类意义上的“二分法”，而是分物活动中的“一分为二”。日后学习“鸡兔同笼”问题也会经常用到这种“一分为二”、逐步逼近的方法。“二分法”和“一分为二”还是有共同之处的，也就是先从分步最少的情况（2种）开始研究。学生从这个角度“创造”了“长边”和“短边”，也就找到了理解三角形三边关系的突破口，这就是学习方法正迁移！在感慨学生无穷智慧的同时，笔者也确立了教学思路：顺势把总长分为奇数、偶数两种情况，引导学生展开二次探究学习。
一、用旧经验探究线段总长是偶数的情况
1. 先推理后演示
很多教师都有这样的经历，在突破两条较短的线段（小棒）长度之和等于长的线段（小棒）长度这一教学难点时，往往选择将较短的或向下压或向上抬，但效果却总不理想，学生总会认为，如果角度再小些，就会接在一起，围成三角形。借用分成（8，4，4）的情况，笔者采取的策略是：借助已学知识——两点之间所有的连线中线段最短，先进行推理。假设（8，4，4）可以围成三角形，那么AB+BC>AC，也就是4+4>8，显然，这与事实不符。以此类推，（8，6，2），（8，5，3）也围不成，也就是说，第一次如果把线段分成两段一样长，第二次无论把其中任意一段怎么分，三条线段都不能围成三角形。接着，再利用课件演示两条4厘米长的线段合并后与8厘米长的线段重合的情况。两条短的线段之和等于长的线段围不成三角形的推断也就水到渠成。
2. 先猜想后实践
两条短的线段之和等于长的线段围不成三角形，那么两条短的线段之和小于长的线段呢？
学生的建议是把8厘米的那段加长，在线段总长不变的情况下，另外两条短的线段应变得更短，比如（9，5，2，），（10，4，2），（10，5，1）……在选择其中几组动手实践后，学生一致发现：围不成三角形，因为长的线段太长，两条短的线段碰不到一起，无法相交（图3），也就是说，两条短的线段之和小于长的线段围不成三角形。
3. 先猜想后实践
两条短的线段之和等于或小于长的线段都不能围成三角形，那么两条短的线段之和大于长的线段呢？
还是从（8，4，4）这组数据入手。有了前两次的经验，学生很容易想到把8厘米长的线段变短，两条短的线段加长，比如（6，5，5），（7，5，4），（7，6，3）……仍旧选择其中几组动手实践，最后学生一致发现：可以围成三角形，两条短的线段之和大于长的线段就可以围成三角形。
在探究上述三种情况后，提出问题：观察围成的三角形，三角形两条短边之和大于长边，那么任意两条边跟第三条边的关系呢？即使不计算，学生也能借助直观，通过推理得到：因为AC是最长边，除了AB+BC>AC的三边关系，还存在AB+AC>BC，AC+BC>AB（图4）。至此，通过不完全归纳得出：三角形任意两边之和大于第三边。
二、以新经验探究线段总长是奇数的情况
继续以问题引领探究：如果线段总长是17厘米，又该怎么分才能围成三角形呢？虽然17厘米不能平均分成2份整厘米的数，但学生依据刚形成的经验认知提出还是用“二分法”。“一分”：把17厘米分成8厘米和9厘米，根据刚得出的新经验，两条短的线段之和大于较长的线段可以围成三角形。“二分”：把9厘米分成（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）等情况。再追问：17厘米的第一分只能分成8和9吗？学生的办法是把8厘米的变短，9厘米的变长，如“一分”分成7厘米和10厘米，“二分”再把10厘米分成（2，8），（3，7），（4，6），（5，5）。这样由特殊到一般，学生自觉思考，思维逐渐深入，深化了对三角形任意两边之和大于第三边的认识，发展了学生的空间观念。
本课的教学正是基于学生的认知“以学定教”引探究，“深度学习”促发展。在成就学生的同时，笔者对以学定教、深度学习也有了更深刻的认识。其一：无论学什么知识，学生都不是白纸一张，或者有先前的知识技能作为基础，或者有丰富的生活经验作为铺垫。正如弗莱登塔尔所说：“在数学活动中，学生创造的数学工具、学生的想法、表达的语言都会变成高层次学习的媒介。”本课中，学生不用老师的提醒便能自发地想到“二分法”，说明学生有能力用旧经验解决新问题，在自己的思维活动中发展自己的思维品质。教师要把握数学知识的本质，提供合适的素材引领探究。其二：深度学习不宜“过度帮辅”，否则会导致学生过于容易地“掌握”知识。相信学生，尊重学生，让学生经历“假如当时的人有幸具备了我们现在的知识，他们是怎样把那些知识创造出来的”，让学生在观察中思考，在操作中思考，学会用数学的思维推理思考问题，最终掌握知识。此时的知识是学生自己习得的，学生既能获得对知识对象的深刻认识，又能习得处理和应对新材料、新问题、新情境的方法，积累数学活动的经验，培养学生学会用数学眼光观察事物，用数学思维思考问题，用数学语言表达想法，发展学生的核心素养。
