陆治兵 高波
摘 要：以GPS測量的大地高为基础，利用似大地水准面获得正常高，是一种创新的高程测量方法，而GPS拟合方法是否恰当，拟合后的精度能否满足要求，直接关系到GPS高程测量方式在实际工程中的应用。通过工程实例研究了多项式拟合、多面函数拟合、克里金插值法等GPS高程拟合方式的差异性。通过对精度分析，得出各种拟合方式的优劣势，以利于在实际生产中选取合适的拟合方法。
关键词：GPS高程拟合 多项式拟合 多面函数 克里金插值 精度
中图分类号：P228 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）01（b）-0046-05
Abstract： It was an innovative elevation measurement method which obtained Normal Height by using quasi-geoid，based on the GPS geodetic height， but the GPS elevation fitting method and fitting precision of the method was directly related to the application of GPS elevation measurement method in practical projects. The differences of the GPS elevation fitting method such as polynomial fitting， multiple-Surface function fitting， Kriging interpolation method were studied in engineering examples. The superiority and inferiority of the GPS elevation fitting method which helped to choose the optimal fitting method in the actual production was obtained by accuracy analysis.
Key Words： GPS elevation fitting; Polynomial fitting; Multiple-Surfacefunction fitting; Kriging interpolation; Accuracy
全球卫星定位系统（GPS）以其全天候、高精度、自动化、高效益等特点已成功应用于大地测量、工程测量，其在大范围的高精度测量控制网、城市控制网、工程控制网、测图控制网中发挥极为重要的作用，逐步撼动着常规测量技术的地地位，这也包括了几何水准测量。
在不是强制需要正常高的项目中，GPS已能够利用似大地水准面（确定高程异常）获得正常高替代水准测量任务完成工程测量或科学研讨任务，如地形沉降监测、灾害危害分析、道路运输控制等[1]。如何利用有效控制点布设、恰当的高程拟合方式把GPS大地高转换为满足工程需求精度正常高，是大家关注的要点问题。
1 GPS高程拟合方法
在一定的区域中，首先应存在一部分已知正常高的已知点，再采取GPS联测的方式获取其大地高，通过相同点的大地高及正常高获得高程异常。若测区中具有数量足够多的观测点，且点位分布均匀，就可根据已测点上的高程异常值构建某种曲面来逼近测区似大地水准面以推算其他待测点的高程异常值，进而获得正常高。
1.1 多项式法
1.2 多面函数法
基本思想：任何不规则连续曲面，总能用N个有规律曲面的数学表面的集合来叠加逼近表达。
1.3 克里金插值法
克里金插值的原理是概率统计中无偏、最小方差条件。假设在研究区域化变量Z（x），待插值点为x0，样本点记为xi（i=1，2，…，n），在点xi处的属性值记为Z（xi），则待插值点x0处的属性值是各个样本点属性值的加权和，记为式（13）。
（13）
其中，λi为待定权系数。
根据无偏条件得到权系数满足关系式∑ni=1λi=1，方差最小条件能够得到求解权系数的方程组。
根据克里金插值的原理看出，插值部分分为两个步骤：第一步为根据对插值点的关系程度确定待插值点周围的已知点。第二部为获得克里金方程组，依方程组解算出权重系数值，得到待插值点属性值。
（1）邻域搜索有效点。
现有的邻域搜索方法主要是建立空间椭球体。针对每个待插值点，以它的空间坐标为中心，确定（x，y，z）方向的半径，以建立一个椭球体。遍历每个已知点，若已知点落在该椭球体内，将其标识为有效点，否则，放弃该点。建立椭球体的参数主要有：（x，y，z）轴向的半径以及己知点个数、搜索方向。
空间椭球体3个轴向的半径主要与变差函数的变程、地质数据特征、已知点分布情况等有关。根据所需己知点个数的多少，椭球体是可以进行动态缩放的，当所需的已知点个数很少时，可以将椭球体进行收缩;当需要较多数量的已知点时，将椭球体放大。
（2）克里金方程组。
2 GPS拟合水准精度评定
GPS拟合水准精度进行评定时，为了尽可能准确的评定GPS拟合成果精度，应尽量布设GPS点与几何水准进行联测，确保水准联测起点覆盖整个网络并分布均匀，以便有效的开展外部检核。
①按照规范要求利用检核点和己知点之间的距离L（km）求出检核点拟合残差的限值，依据限值来评定水准拟合的外符合精度情况。
②以GPS水准测量方式求出GPS点间的正常高程差，在己知点间形成附合或闭合高程导线，并对比分析闭合差与限差，从而评定GPS水准精度。
3 项目实例
3.1 工程概况
结合工程实例利用一测区已有成果资料对上述GPS拟合水准方法进行分析，论证上述方法的可行性，对不同GPS拟合方法的成果精度进行简要分析。实例测区地形复杂（见图1），北部区域地形类别为山区，其高差起伏较大。利用测区C级GPS观测数据，经约束平差获得观测点平面成果，观测点高程成果为二等水准测量获得，平面及高程成果数据精度符合本文拟合精度要求。
3.2 实例分析
3.2.1 多项式拟合
测区部分区域为山区，此次多项式拟合方法，分别采用已知点12点和17点分别拟合二次多项式和三次多项式求解转换参数，多项式拟合模型的内符合和外符合精度統计见表1。
从1表可以看出，选取已知点的数量不同，多项式阶数的选取不同，均导致成果精度不一样。（1）12点拟合比17点拟合的内符合精度高，因为拟合的已知点选取较少，用来约束平差的方程较少;（2）从外符合精度来看，二次多项式精度总体优于三次多项式成果;（3）17点拟合时相对于12点拟合，其内符合精度方面二次多项式变化不大，三次多项式却显著降低，但外符合精度基本一样。结合算例，该区域使用二次多项式拟合精度更高，选取已知点17点时拟合效果更佳。
3.2.2 多面函数拟合
此次多面函数拟合方法分别采用12点和17点构建核函数，经过多次反复试算，最终12点的核函数平滑因子定为1.4×109，17点的核函数模型平滑因子定为1.14×1010，获得模型的外符合精度见表2。
从表2看出，外符合精度方面17个已知点拟合明显优于12个已知点拟合，亦优于多项式拟合结果。相对于多项式拟合方法，多面函数拟合的的离散程度更小，精度更高，更接近真值。
3.2.3 克里金插值法
该算例中采用的是普通克里金方法，理论变差函数基本模型分别采用线性模型和高斯模型，分别采用12点和17点拟合实验变差函数，经过多次反复试算，线性模型和高斯模型分别采用12点和17点拟合的外符合精度统计见表3。
从表3可以看出，采用克里金插值法，理论变差函数基本模型分别采用线性模型和高斯模型，精度相差不大;分别采用12点和17点拟合实验变差函数，拟合函数模型的外符合精度比采用多面函数模型时精度略有提高。
3.2.4 精度评定
依据规范限差指标要求，利用结合检核点与最近已知点的路线长，获得检核点拟合残差的限值，与观测点水准高程成果对比，具体情况见图2、图3。
结合表1～表3与图2、图3反映的各点拟合精度可以看出以下方面。
（1）采用多项式拟合方法仅能满足等外水准精度要求，但难以保证满足四等水准的精度要求。
（2）多面函数拟合方法拟合精度相较多项式拟合有提高，采用17点进行拟合时基本能够满足四等水准测量的精度要求。
（3）采用克里金插值法拟合的精度比多面函数有进一步提高，完全可以满足四等水准测量的精度要求。
3 结语
该文结合工程案例，对3种GPS高程拟合方法陈国进行对比分析，得到的结论如下。
（1）多项式拟合方法中随着阶数的增加，内符合精度显著提高，但外符合精度变化不大，因为随着阶数的增加用于约束模型的条件方程会减少。实例中无论是二次和三次多项式拟合方法，其结果均达不到四等水准的精度要求，但可以达到普通水准测量精度要求。
（2）地形复杂的测区可优先选用多面函数拟合法，能反映出测区内部的高低地形变化程度。但是其无法提取直接确定合适的光滑因子制约了其效率，要通过试验才能获得比较理想的光滑因子。选用相同的拟合点的核函数，光滑因子越大有利于拟合效果的改善，但并不是光滑因子无限大，拟合的残差就趋近于零，当超过某极限值时，拟合残差反而会增大。随着拟合点的不同和核函数的不同，最佳拟合的光滑因子的值也是不同的。该文中选用17个点进行多面函数拟合时，基本可以达到四等水准测量的精度要求。
（3）克里金插值法函数模型相对于传统的、单纯的函数模型，在理论上更为完善严密，也改善了高程拟合的精度，该例中用12点和17点拟合精度稳定，都能达到四等水准测量精度的要求。
（4）选用合适的GPS/水准拟合模型对GPS高程进行处理，其高程精度能满足等外水准测量的精度指标，甚至可以达到四等水准测量精度要求。
参考文献
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