易斌
【内容摘要】核心素养下的教学设计是中学数学教师关注的焦点问题，如何做到信息技术与数学教学深度融合，也是现代教学教师探讨的热点课题，本文以《函数的单调性》为例，深刻阐述了以“发展数学核心素养为目标，结合信息技术的应用”的教学该如何设计？其思考维度，对其他课型的教学设计具有重要的指导意义。
【关键词】融合信息技术 发展数学核心素养 教学设计
核心素养下的教学设计是中学教师关注的焦点问题，如何在数学教学中深度融合信息技术，做到高效教学，也是现代教学教师探讨的热点课题，笔者以《函数的单调性》为例，谈谈“融合信息技术与发展核心素养”的教学该如何设计？
一、教学内容解读
1数学本质
从图像看，单调性是研究函数的图像的“升降”特征;从数值看，单调性是研究函数值随自变量增大而“增减”的性质。
2.思想方法
研究的方法是数形结合，先观察、发现特殊函数图象升降的变化，由直观到抽象，用数学符号量化地刻画增、减变化的数值特征，再由特殊推广到一般函数。
3.功能价值
是解决值域、最值、零点等问题的重要依据（内部）;在数列、三角、不等式及解析几何等数学内容中有着重要的应用（外部），是处理数学问题最基本的工具，在数学中处于核心地位。
4.教学重点
（1）用三种语言（图形、文字、符号语言）描述单调性定义。
（2）用定义证明函数的单调性。
5.知识类型
在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，用定义证单调性的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从特殊到一般，由直观到抽象等研究问题的一般方法，属于元认知知识。
6.思维教学资源与价值观教育资源生活中数据曲线图，能引发发现思维;函数f（x）=0.001.x+1和f（x）=x+l/x，能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机。
7.发展核心素养
函数的单调性教学，是发展学生抽象概括、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良机。
8.融合信息技术
（1）利用信息技术创设情境：本课情境创设涉及温度图象、f（x）=x、f（x）=x及f（x）=0.00lx+1的图象，其中f（x）=0.001x+1的图象，学生无法精确作出，要利用几何画板才能精准作图。
（2）利用信息技术探究定义：单调性定义生成过程涉及函数的“图像”，它是由形的观察到数满足的特征的思考与提炼，特别是从图象的上升发现函数值随自变量的增大而增大，基础差的同学不太容易做到，可以利用信息技术充分展现函数值随自变量的变化规律，利于学生发现与归纳。
（3）利用信息技术辨析定义：为理解单调性概念，设置的辨析题2可以用信息技术作出图象直观解释，达到无声胜有声的效果。
（4）利用信息技术规范证明：例2的单调性证明，用信息技术呈现，思路清新，层次分明，提升效率，也利于学生感悟证明的方法，总结归纳证明的步骤。
（5）利用信息技术突破难点：利用信息技术，清晰地展现了知识的发生过程，生动地体现了数与形的逻辑联系，形象地演绎了疑难问题的直观解释，轻松地突破了教学难点，高效完成了教学任务。
（6）利用信息技术反馈效果：无论是体现定义应用的例1、例2及相應练习，还是为理解定义设置的辨析题1与辨析题2，都可以利用信息技术统计答题情况，显示做对与做错的学生人数及学生名单，非常及时地反馈教学效果。
二、教学目标设置
本课教学依据是《普通高中数学课程标准》（以下简称“课标”），根本目标是“数学育人，发展素养”。
“课标”对本课教学内容要求是：通过学过的函数，理解函数的单调性。
为尽好达到教学要求，结合学生实际，设置目标如下：
（1）理解单调性的概念;能观察图象直观判断单调性;会用定义理性判断、证明单调性;
（2）经历观察发现、抽象概括、推理论证等思维过程，提高相应的数学思维能力;体会数形结合、特殊与一般、无限与有限、等价转化等数学思想;
（3）通过自主学习、合作探究，形成独立思考、讨论争辩、合作分享的学习习惯;感悟研究函数性质的基本方法;发展学生逻辑推理、数学抽象等核心素养。
三、学情分析
1.学生基础
认知基础：从知识最近发展区来看，学生在初中已会用“随x的增大而增大或减小”这句体现变量之间依赖关系的文字语言来描述函数的单调性。
非认知基础：通过小学、初中和高中阶段集合与函数概念的学习，学生具有一定的抽象概括、类比归纳、符号表示的能力。
2.难点及其突破方法
难点1：把“随着”“增大”“减小”这些文字语言进行符号化。这个差距是从自然描述抽象概括为符号表述。抽象能力稍强的学生可以通过观察图象和函数列表的变化过程，将它们进行对比，以数形结合自主消除差距。如果学生抽象能力稍弱，教师可以提示“增大、减小都是体现大小比较的词汇”启发学生用比较大小的方法抽象概括。并用“当……时，有……”来体现“随着”这种变量间的伴随关系。
难点2：能理解“任意……都……这个句式的具体含义：
第一，不能取特定值来判别函数的单调性;这里的差异是学生要理解可以用特殊推广到一般，但不能用特殊代替一般，学生也许理解不透彻，需要教师提起注意，本课设置了辨析题1，来纠正学生对概念理解的偏差，突破此难点。
第二、用“任意”的合理性，体现化无限为有限的思想。这里的差距是学生要理解“任意”这个说法的合理性，学生第一次接触这样高度概括的文字语言与符号语言，理解很有难度，需要经过斟酌、推敲、推理，才能吸收、消化并接受。本课通过问题串来引导学生，在互动对话中慢慢感悟，突破难点。
难点3：函数的单调性有局部性。这里的差异是学生要理解单调区间一般不能取并集。为消除差异，本课设置了辨析题2，采用合作探究模式突破难点。
四、教学策略分析
1.教学材料分析
用一次、二次函数通过有效组织成为教学材料，再观察f（x）=0.001x+1的图象，引发不能靠图象直观判断单调性的矛盾冲突，于是要靠解析式代值验证来判断单调性;再展示函数f（x）=x+1/x说明靠解析式代值验证操作性很差，需要新方法——利用解析式快速判断单调性，这些教学材料贴近学生实际，能有效引发思考，十分自然地推动了知识发展;再以f（x）=x承担主要探究材料，组织列表和观察图象，驱动学生由“形”转“数”，提炼符号语言描述;组织两道辨析题，问题驱动深挖定义的内涵;组织直观判断单调性的例1以及需要用定义判断证明单调性的例2及练习，润物细无声地引导学生感悟判定单调性的基本方法。
2.教学方法分析
本课教学内容重点是函数单调性符号语言描述的抽象概括过程，是学生遇到的抽象程度极高的符号语言，所以结合幻灯片、实物投影等多媒体技术的教学手段，选择观察发现式、问题启发式、合作讨论式的教学方法。
3.设计“问题串”的分析
依据学生认知的规律，从问题1至问题5以及两个思考，“问题串”的设计层次递进，环环相扣，体现了特殊到一般，直观到抽象的研究脉络，有利于形成对后续函数性质的一般研究方法。“问题串”的设计也体现了发现问题——提出问题——解决问题的研究模式。
4.效果反馈的分析
通过两道辨析题反馈对函数单调性定义中“任意”的理解;通过例1反馈对函数单调性相关概念的理解;通过例2及练习反馈对用定义证单调性的掌握程度，通过课堂小结反馈学生在知识、方法、思想、学法上的收获。多管齐下，全面反馈学习效果。
五、教学过程
1.感知数学引人新课
引人：观察某市一天温度变化图（投影图象），它反映了温度的哪种变化规律？
【活动】观察图象，自由发言
【设计意图】用信息技术创设情境，引导思考。学生通过图形语言的描述：图象的“上升”“下降”，完成对函数单调性概念的第一次认识。引出课题，同时获得判断单调性的直观方法——图象法。
2.激发冲突由形入数
（投影）問题1：观察函数f（x）=x、f（x）=x？与f（x）=0.001x+1的图象，描述函数的变化趋势。
【活动】学生用文字语言描述：在哪个区间上，f（x）随x的增大而增大或减小？
【设计意图】从所学的两个熟悉的函数出发，要求用文字语言描述它们的单调性。加强定量分析的意识，完成对函数单调性概念的第二次认识。第三个图象先不给表达式，让学生观察其变化趋势，学生会认为这个图像的函数是y=l，因图象平行x轴，故没有“升降”性。教师再用几何画板展示第三个图象的函数其实是f（x）=0.001x+1，学生大为吃惊，充满好奇，意识到某些图象不能直观判断单调性，要凭解析式代值验证才能判断;再展示函数y=x+1/x，说明靠解析式代值验证操作性很差，且易判断错误，因此，准确判断函数的单调性，需要新的方法。这几个教学材料贴近学生实际，能有效构造知识矛盾冲突，激发思维，十分自然地推动了知识发展。学生感悟图象法判断单调性虽然比较直观，但有些图像其升降趋势无法判断。因此，判断函数的单调性必须由“形”转“数”，由“感性”转“理性”，从函数解析式和不等关系寻找出路。
3.列表演化突破难点
问题2：如何描述f（x）=x？“在（0，+oo）上，f（x）随x增大而增大”？
【思考】观察各自变量对应的函数值大小，你能发现什么？
f（x）=x'0l4916...
【活动1】利用信息技术让学生观看表格生成的数据变化，体会f（x）随x增大而增大，再用自己的语言总结归纳出“当x《x，时，有f（x{）《f（x，）”这个符号表述。
【设计意图】通过同时对比函数的列表和图象，借助“数”与“形”结合，学生更容易概括。提示“增大是体现大小比较的词汇”，启发学生用比较大小的方法抽象概括。并用“当……时，有....”来体现“随着”这种变量间的伴随关系。
【活动2】通过“问题串”引出“任意……都……”句式：
师：x;和x，是一对具有代表性的符号，它们究竟代表了多少对数值？
生：无数。
师：无数还是所有？
生：所有。
师：无数和所有含义相同吗？
生：不同。
师：还有什么词可以表达“所有”？
生：“任意”可以表达。
【设计意图】突破本课第一个难点：用“任意”的合理性。学生认识到自变量无穷无尽，不可能被一穷举，为使得对“所有”的自变量均成立，取的两个自变量x，x，应该在给定的区间内有“任意”性，这里的“任意”涵盖了“所有”。
问题3：能类比描述f（x）=x'在（-0，0）是减函数吗？
【活动】全班思考后齐声回答。
【设计意图】激发类比思维，渗透分类整合的思想，让学生体会完善知识结构过程。
4.符号语言建构定义
问题4：如何用符号语言刻画y=f（x）是增函数？
【活动】师生共同整理完善增函数的概念、学生阅读教材定义、领悟后再盖上课本用自己的话表述一遍。
【设计意图】把二次函数推广到一般函数，并把讨论区间一般化，由特殊到一般，具体到抽象，用规范准确的符号语言生成定义，完成对概念的第三次认识。引导学生研读教材，琢磨如何规范表述定义。这一环节展现了学生的高级数学思维，充分发展了逻辑推理、抽象概括等核心素养。
问题5：能类比刻画减函数吗？
【活动】类比得出减函数的定义，选个别学生展示后再集体朗读定义。
【设计意图】渗透类比的思想方法。
5.理性认识螺旋上升
例1：回顾温度图，写出其单调区间，并说出增减性？
【活动】写单调区间，教师选个别成果展示，师生一起点评。
【设计意图】利用信息技术回顾引人的例子，首尾呼应，体现数学的应用价值;用单调性的知识来作答，巩固新学的概念。
.【概念辨析】辩一辩下列说法是否正确？为什么？
辨析1：若定义在【4，6】上的f（x）满足f（6）》f（4），则f（x）在【4，6】上是增函数。
【活动】请同学举手回答，用预设
动画验证想法。
【设计意图】突破本课第二个难点：不能取特定值来判定函数的单调性。设计意图是要学生理解可以用特殊推广到一般，但不能用特殊代替一般，学生也许理解不透彻，因此设置了辨析题提起注意。本题用信息技术统计答题情况，显示做对与做错的学生人数及学生名单，教师根据反馈结果，针对存在的问题进行讲评，使学生明白判定单调性必须用“任意”值，而不是用“特值”。
辨析2：若函数在【2，6】和（6，10】上都是增函数，则在【2，10】上也是增函数。
.【活动】先独立思考一分钟，然后全班分成若千小组合作探究，判断对错，并作图说明理由，，上台展示成果，全班讨论，生生互评。
【设计意图】突破本课第三个难点：正是由于取值的任意性，造就了函数的单调性的局部性。学生第一次接触像函数单调性概念这样高度概括的符号语言，需要设置辨析题，采用小组合作探究，让学生独立思考、充分讨论、正误对比来获得正确认识，并利用信息技术作图直观解釋及统计答题情况，显示做对与做错的学生人数及学生名单，教师根据反馈情况，适时地组织学生探究及进行讲评。
6.定义应用消除冲突
例2：波利尔定律p=k/v（k是正常数）表明：对于定量气体，当体积v减小，压强p将增大。试用单调性证明。
【活动】先领会题意，再启发证明思路，师生共同完成证明，证明结束后，再反思证明过程，感悟证明步骤（五步曲）：取值，作差，变形，定号，结论。
【设计意图】用定义证单调性，是本课教学内容重点之一，是学生第一次接触用解析式和不等式关系的结合本——作差法证明函数单调性，证明过程利用信息技术由师生共同完成，有示范性作用，为后续学习形成良好的铺垫。总结证明步骤，形成可操作模式，发展学生逻辑推理、抽象概括等核心素养。
练习：判断并证明f（x）=0.001.x+1的单调性。
【活动】独立解答，分享展示，生生互评。
【设计意图】回顾前面提出的知识矛盾冲突问题，既做到首尾呼应，又完成了解决问题的目的，完善了提出——分析——解决问题的过程，给学生深刻的体会。并利用信息技术监测学生答题规范情况，适时提醒与点拨。
7.归纳小结，提高认识
假如把我们这节课当成一次旅游，哪些景点给你印象最深？从知识——方法——思想——感悟几个角度分别说说。
【活动】学生先归纳思考，再交流分享学习中的体会、收获和感受。
【设计意图】小结反思，利于学生形成良好的学习习惯。
8.作业
（1）必做
①课本题（略）;
②若对任意x，x（x{#x），都有【f（x）-f（x）】/（x-x，）》0，问y=f（x）单调性如何？
（2）选做
研究y=x+1/x（x》0）的单调性，并画出函数的草图。
【活动】课后继续完成探究。
【设计意图】作业分层设置，弹性要求，必做作业让所有学生巩固所学基本知识与技能，选做作业则是让基础厚的拔尖学生得到充分的思维锻炼，培养他们不畏艰难、勇于挑战的意志品质。
【参考文献】
【1】王可亮.课堂问题的设计与解决应凸显知识本质【J】.数学通报，2017（10）.
【2】涂荣豹.数学教学设计原理的构建【M】.北京：科学出版社，2018.
（作者单位：广西桂林市第十八中学）
