摘 要：鉴于对学生核心素养的要求以及现阶段小学初中各自为阵是常态，而中小学阶段使用教材差异可能也会导致小升初后学生的各种不适应，平稳有序自然地实现中小学数学过渡仍是亟待关注的重大课题。文章从教材比对、开展前测、进行实施三方面，加强对学生各种数学思想的渗透和能力的培养，浅谈些许有待商榷的想法。
关键词：中小数学衔接;教材比照;思想渗透;能力提升
在核心素养是对学生横向的全面发展与纵向的可持续发展的多向要求的研究背景下，教师学会用发展的眼光培养发展中的人，便是一份责任与担当。因此，平稳自然地过渡不同学段的教学则是每个教师应当关注的重要课题。多年来，中小衔接问题一直是数学教育上的难题。目前，虽有部分实验区尝试九年一贯，大一轮或打破界限式轮岗，虽有一定的实效，但小学初中独立建校仍占绝大多数，小学初中各自为阵是常态，互相推诿也存在。形式上的衔接一贯只是浅层，教师如何整合二、三学段知识思想方法，实施孕伏式教学才是关键所在。毕竟从之前的独立设定大纲到新课程标准，通盘考虑九年总体目标，整体性体现毋庸置疑。从之前的初一初二初三到如今的七八九年级，称呼上的变化也算是一种整体联系的体现。
我校位于农村最偏远镇，初中与小学仅隔一条马路，也在镇辅导学校的组织下，开展过七年级教师进六年级课堂的活动。但毕竟只参与了一节课，后续工作也没有及时开展和深入，效果只能说一般。
综合上述种种考虑，加之对小学（人教版）和初中（浙教版）不同版本教材的多方面综合比照以及多年的教学实践经验，在中小数学衔接中略发如下几点不成熟的想法，有待商榷。
一、 准备阶段
（一）教材比照
数学知识本身具有系统性和联系性，教材的安排肯定有它的螺旋上升式考虑，目前在初中教学中仍然存在一些所谓的“想当然”“应该是掌握了”的固定思维，不加铺垫直接引入。例如七上5.4例7，涉及六下百分数运用中的税率、利率等，如不加引导，直接搬出公式，便是一种灌输、生硬植入。如若了解小学教材，其实可以尝试根据百分数的定义，提上一问：年利率1.98%是指（ ）是（ ）的1.98%，进而变形即可。尽管植入教学似乎很快捷，但明显知其然亦知其所以然更能促进数学能力的发展，更具价值。
因此，初中教师十分有必要提前知晓：有无涉及，具体渗透程度，表述是否存在差异。以七上部分为例。
1. 负数出现在六下第一块知识点，与七上第一章联系紧密。均以几个城市的气温作为情境引入，而其中先出现正数，再负数，也方便对具有相反意义的量的理解。
2. 有理数的概念尚未接触，但分类中，整数的进一步分类和自然数的概念已有，初中教师可以适当加快进度，将时间重点安排在负分数，负小数的理解上。
3. 数轴已出现，但三要素未明确表述，相反数、绝对值有所涉及但未明确表述概念，仍需在七年级重点理解。
4. 有理数的大小比较。人教版教材较以往已删去了正数，0，负数的大小比较。直接比较法，借助数轴比较和法则比较仍需类比介绍适用的情境并加强相关练习。
5. 第二章，初中教師完全可以以复习旧知，类比方式导入新知。
6. 用字母表示数，五上简易方程第一课时，分猜年龄和求质量两大块，用字母表示数、式，数量关系，运算规律都有反映。对于“省略乘号时，一般把数写在字母的前面”常规格式上也做了要求。简单的合并同类项已出现，如2a+6a，但同类项概念未提。
7. 方程、方程的解、解方程定义均已出现，并与初中表述完全一致，小学是等式的性质，初中是等式的基本性质，也没有多大影响，而“等式两边加上相同的式子，左右两边仍相等”已上升为式，为解方程做准备，移项未提及，但只要稍作提示，完全可以自然地延伸移项法则。另外，也强调了方程要检验这一解题习惯。
8. 线段、射线、直线是四上内容，三者端点的个数，能否延伸，表示方法均已到位，但有一点，在表示直线时，教材上只是说可表示为直线AB，对直线BA没有提及。
9. 点到直线的距离，经过两点可以画几条直线也已在课后的练习中出现，关于对顶角，虽没直接定义，但两条直线相交所形成的四个角通过测量发现规律有所暗示。垂直与垂足定义、垂直的表示，过直线外一点如何借助各种工具作已经直线的垂线也已提及。
初小表述上的差异性也是我们要特别关注的内容，以便初中学习时，学生注意细节，少些迷茫。如：
1. 在过直线外一点作已知直线的垂线时，小学的要求并未体现“垂线是条直线”的知识点，其实在垂足处还应该要延长，体现直线两边无限延伸的特性。
2. 关于π，小学基本上使用的是它的近似值 3.14，而初中阶段，绝大部分还是直接保留π，不能用3.14代替。
3. 小学阶段，等腰三角形有一条对称轴，平行四边形不是轴对称图形，对称轴是折痕，又如，等腰三角形的对称轴是底边上的高，关于对称轴普遍讲的都是线段，另外也暂时未考虑特殊的平行四边形。而初中阶段更为严谨，等腰三角形1或3条对称轴，平行四边形不一定是轴对称图形，对称轴是一条直线。
另外，有个不知是否合理的小想法。阶梯价格是学生比较熟悉的生活情境，对后续学习方程、函数都有较大的引导指向作用。小学教材上用的是邮票问题，本人的想法是：可否考虑更接近学生生活的，如天然气、出租车、飞机或火车上托运行李等收费标准此类情境似乎更带些人间烟火味儿。
（二）开展前测
文章中的前测，就是大部分学校都会开展的小升初检测。虽然检测有为尽可能均匀分班寻找一定依据的目的，但最重要的还是为了考查学生的预备状态，了解他们整体和个体的学习起点与特点，为初中教师进行针对性教学提供有力依据，更好地促进中小衔接。
前测，知识层面上，基本要覆盖课程标准第二学段中的二级内容项目。考虑到小学和七年级内容以数与代数为主，所以相对分值上要占大比例，尤其要突出紧密相关区块，即文章之前已整理的内容。
能力层面上，以解释与交流的能力为重点，通过举例或画图等方式解释数学对象，考查学生对数学概念和数学技能是否理解为主。通俗地讲便是需要具备得到结果与解释结果的双重能力。在前测中，经常会看到如下这样的题目：表示34×12的意义，可以以选择题的形式出现，那是对学生读图能力的考查，对四个选项中的图形表示依次进行分析，也可以以主观题的形式出现。比方说，可否考虑如此命题：画图表示34×12的过程和结果。就运算而言，很多学生都缺乏对算理的准确理解，更多仍处在死记硬背的状态，所以这样的题型便能真实反映情况。另外，学生可能会用线段图或长方形等图形，也能较好地考查学生的直观素养与画图能力，毕竟杭州中考大趋势下，对自行画图的能力要求越加明显与重要。
另外，仍需指出的是，考查核心知识为主，难度要适中，若真要了解学生更高层次的能力，可适当加一些选做题，但可不计入总分内。
二、 实施阶段
（一）方程思想的渗透
小学数学是在用字母表示数、式的基本上，借助等量关系引出方程，接触方程的时间肯定没有算式持久，不喜欢也不知道如何设未知数，找等量关系，即使看似方程30+15=x，实则仍是算式等问题普遍存在。而初中方程比例加重，可在教学中有意识地选择一些解方程比列算式简便的题目作为范例，如盐水中盐的质量分数或课本上瓶子正放与倒放其中的变与不变的等问题，进而体现方程思维的独特性与简洁性。重点花时间在帮助学生如何寻找等量关系以及认识其价值上，标记一些原题中的关键性语句，找准关系，逐渐改变学生认为方程书写烦琐，不知从何入手的无助感和排斥心理。其实，方程是一种顺向思维，关注从条件到结论的一步步推进，而算式是逆向思维，正如此也有人会一定角度地认为算术更能反映逻辑性与严密性，更能训练思维，但从方程所寻求的量与量的平衡、推演、建模，那绝对是单线思维的算术无法相提并论的。算术到方程一定是数学学习中的不可否认的进步。具体举例：班级男生15人，女生比男生2倍少6人，求女生人数。学生采用的肯定是列算术。如果改为：全班54人，男生比女生的2倍少18人或者男生的2倍加上女生的3倍是132人或男生的3.5倍減去女生的2倍是67人，均分别求男女生人数。小学中的对应、消去、图解、方程法都能解决，可能上述题型还算简单，但复杂题目肯定会前路阻碍。选择最优方案也是初中需要学会的一种技能。
在初中教学过程中，经常会发现：解方程时，学生出现两个等号的现象，即“=7x-3x=5+7”。实际上是对等式与算式的混淆。算式中的等号是经过具体运算后逐步得到的结果，也就是第一个等号，也可以指左右双方的等价性，反映的是两个量之间的相等的关系，是关系的反映。其实也从另一个侧面反映出：学生对算术有多么的习以为常与根深蒂固。也难怪，习惯初中思维的教师批改小升初试卷，还得好好研究其算式的意义，深表有些不适应与麻烦。（本镇小升初命题是小学教师，批改是初中教师，也算是一种提前了解与过渡考虑）
（二）转化思想的延伸
1. 数到式的转化
小学阶段，在学生的理解中数就是具体的，是多与少的最直接的表示。虽然高段也逐渐有式的产生，进而产生简易方程的解法等，但固定思维依然存在，而到中学阶段，明显式比数更频繁与难理解。从数到式，是初中学习过程中的第一个转折点，从具体的数到认识更加抽象的代数式，是一种飞跃，而更深层次的认识还在于从纯粹的具体运算过渡到代数式的形式运算。初中教师要充分挖掘学生在小学高段的思维能力，并在实施阶段有效应用。再观小学教材，“用字母表示数”可按递进式的脉络展开教学。首先，字母可以表示任意的数，如乘法结合律，分配律中的字母可取任意数，并且能使运算律简洁明了。其次，字母表示不确定但有范围的数，如将若干个球放入一个不透明的袋子中，球的个数不知道，只能用字母表示，但由于袋子的容量有限，所以这个不确定的字母便有它的隐含范围。这是对函数中变量范围的准备。再次，用含字母的式子表示数量关系，比如圆的面积公式，圆柱的表面积和体积，也要尝试从文字表述转化为含有字母的式子表示，不仅简洁，更是思维的适当提升。同时教师也可以让学生慢慢明白：字母每取一个值，这个式子也就有唯一的值确定，体现一种对应或函数的关系。最后，用字母表示的数还可参与运算，那便是方程。如此安排可能更易于学生对数到式的深度理解，层层递进也不会显得突兀，为初中学习代数式和方程等做了知识与思维观念上的铺垫。
2. 数到形的转变
数到形的转变，能使数学问题变得简单、直观和明了，小学中的线段图就是一种常见的方法。以非常熟悉的年龄问题为例，妹妹对姐姐说：“我到你现在这么大时，你就35岁了。”姐姐对妹妹说：“我像你这么大时，你才17岁。”分别算算姐妹两人的年龄。这个题目如果能用图示：
一个简单的图示，意味着在35和17之间有三个年龄差，问题迎刃而解。找到其中的变与不变，也有对“数轴”感官层面上的刺激（当然也可用列表格反映三个时间段两姐妹的年龄）。初中阶段，列方程解应用题时，列表法、图示法、文氏图在寻找等量关系时发挥着巨大的功效，所以小学阶段的准备不容忽视。
完全平方是初中的内容，但在六年级的课后练习已出现。通过对四块小图形的分别求解，等面积法得出量之间的关系。即使当时不能提及完全平方公式，但至少是图形表征能力的渗透，再次碰到时不至于无从下手。初中阶段如求两个二次根式和的最小值问题，可转化为两条线段和的最小值问题就是较难的数形结合。
3. 量与量的变形
数学学习不仅要知晓各种程序（公式等）的来源，更要学会变形，实现程序思维向关系思维的有效过渡。在学习圆柱的侧面积和体积时，可以出示如下题组：
（1）一个圆柱的侧面积是75.36平方厘米，底面半径是3厘米，它的体积是多少立方厘米？（2）一个圆柱的侧面积是150平方厘米，底面半径是3厘米，它的体积是多少立方厘米？
第一题直接借助公式，先求圆柱的高，再求体积，但第二题如同样操作，高不是个整数，学生就感到困难，但通过引导列出综合性的式子，约分后也能解决，当然最简洁的方法便是侧面积除以2，再乘以底面半径直接就是结果。要让学生惊叹变形的神奇和简便，也能使其在心理上慢慢接受和理解这样的变化。虽然在学生的认知中，较为牢固和深刻的肯定是原始公式，面对其他，即便提过也不会牢记更别提自如地运用，运算中更多的是代数的韵味，若用整体的思想或者变形的思想，也能降低学习学习代数的门槛，为今后关系思维奠定良好的基础。毕竟中学阶段，函数关系中，用一个变量的代数式表示另一量以及乘法公式中的变形实在太常见了。
（三）主要能力的储备
1. 辨析的能力
由尝试错误理论得到启发：辨析，即辨别对错，分析原因，进而强化学习，也不失为一种有效的教学方式。在七年级内容中，有很多容易混淆的知识点，教师可以不断强化，刺激，可能更容易让学生理解与掌握。比方说，可以辨析范畴大小：数轴是直线，直线是数轴;自然数是整数，整数是自然数等，既能保证学生上课注意力集中，更能加强对相关知识点深入理解而非纯记忆。又如，虽然小学阶段已接触正负数，但如仅将负数理解为带负号的数，肯定是存在问题的，也会导致初中阶段相反数概念，绝对值的几何意义，甚至之后的有理数运算，难点平方根都会出现理解上的障碍，因此，小学阶段可以开展类似主题为“只有符号不同”或者“-a一定是负数吗？”或者“商一定比被除数小吗？”的讨论会，同伴间辨别对错，分类讨论，举反例都是对初中学习的提前酝酿。即使过程中会有错误的结论，但经过讨论之后的正确结果势必会得以正强化并牢记于心。
2. 类比的能力
在整个数学教学中，类比能在已知与未知，新旧之间搭建梁桥，是获取新知的一种重要方法与能力。
①结构类比。凭借结构上的相近发现问题，通过适当的代换，转化尝试解决。举例，分母为1×2的分数拆项，延伸到1×3，1×4的拆项，结构上很接近，有相似但不完全是，可能一开始学生也会直接认为是1减去13，要允许学生大胆地猜测，但要告诉学生猜测只是主观的不充分不严谨的活动，要确认其正确性，还需进行验证，进而发现问题，纠正，重新归纳结论和规律。小学阶段的引导也是对初中阶段各类变式题组的一个提前演练。初中阶段，一旦学习了一元一次方程的概念，会类比到一元二次方程，二元一次方程等，结构上的类比与观察，猜测，证实，归纳紧密联系。
②方法类比。小学阶段推导圆的面积公式用了极限的思想，将圆分成若干（偶数）等份，用那些类似于等腰三角形拼成一个无限接近的近似长方形进而得到公式，在此基础上，本人想到在研究立体图形——圆柱的表面积时，还可以进行类比拓展，两个底面可以看成是以底面周长为长，半径为宽的长方形，与侧面展开图长方形，可拼成一个一边为底面周长，另一边是底面半径与圆柱高之和的长方形，进而可推导出S=C（r+h）的新变形公式。类似的极限方法，可以延伸到扇形面积公式，将扇形看成弧长为底，半径为高的三角形。另外，初中階段最常见的就是解一元一次方程类比到解不等式。
由此可见，类比有助于培养学生的开放性思维，提高数学的应用意识，遇到新情况，首先思考此前是否见过同类问题，那个题目当时是怎么解决的，最后的结论又是什么，那么这个题目可否先试试之前相同的方法等，如若不行，能否转化为同类，只有伴随这样开放性的思维才能有所发现与创造，实现横、纵向上的交融。
但有时候仍要注意类比带来的思维定式。如，小学阶段取数仍以正数为主，导致误解：正比例函数就是一个变量随着另一个的增大而增大，反比例就是一个增大，另一个减少，实际上是对两者本质属性（正比例是比值为定值，反比例是乘积为定值）尚未把握到位，对初中阶段学习两者的增减性可能会受干扰。
3. 表达的能力
数学表达能力是学生用口头或书面的形式，把自己对数学知识、思想方法、解题思路、困难疑惑等向他人进行口头叙述或书面展示的能力，是学生与他人进行数学信息交流必不可少的手段。通俗地讲，说得清楚的一定是理解的，理解的却不一定表达清晰、准确和到位。
初中教师最有感触的便是，在学习七上6.4线段和差的时候，如例2这样求线段的长度，很大一部分学生知道答案，也知道如何求解算式，却不会写格式，可能和非智力因素有关，但肯定也同表达能力有一定联系。小学教师多训练些体现思维严密性和逻辑性的题型，小学中高段的数学广场（鸽巢问题、找次品）就是个不错的训练场地。先口头阐述观点，再利用直观图，流程图或者枚举法，配以简洁的文字，逐渐在教师引导下将思维呈现。初中教师则在初步接触几何语言的时候，多给予模板的示范和强化，为七下第一章平行线以及八九年级各种几何证明严格规范打下扎实的基础，而在思维方面对学习反证法也是一份细水长流式的准备。而在学习概念或代数方面的知识时，可能还要普通语言数学化，数学语言普通化，更能揭示本质属性，加深理解。
表达的方式也可以是全班呈现或者组内，个人同伴相互请教，发挥同伴影响力，又能严格地督促自身。通过口头表达，疑惑得以消除，观点得到证实，发现得到分享，杂乱的思绪得以组织，模糊的观点得以澄清，同伴交流的信心和数学学习的兴趣也会随之上涨。而书面表达的黑板或投影展示，也能更加在教师和同伴的监督下，向简洁、准确和完整靠拢，几何自然也逐渐没有想象中的高高在上。
三、 评价阶段
进入新校园，准七年级学生可能还是有一定的新鲜感，在心理上也普遍存在从头再来的上进愿望，因此，初中教师应该抓住契机，努力培养学生数学学习的兴趣，提高钻研的热情，不放过对任何一次新奇想法，一次自我纠正的鼓励与赞赏。尤其是在学习内容扩充，难度加大以及失败次数增加的情况下，教师更当发挥教育者的特有功效，在问题的逐个解决中，让其享受到来之不易的成功喜悦，从而促使他们对数学学习保持持久新鲜。毕竟较小学教师而言，初中教师的表扬机制相对少一些，那么尽量减少两者频数上的差距，也是对学生适应性提高的一种帮助。当人们执行某种行为时，能从他人那里得到某种肯定或愉快的感觉，进而又能推动其继续趋向或重复此种行为，这便是期望与肯定产生的皮格马利翁效应。良好的行为被强化，向更优秀的方向发展。
另外，小学教师经常会采用“蹲班制”，因而对作业的反馈更多当堂完成或当天批改，反馈迅速，能十分及时了解学生在学习过程中的困难与疑惑，大部分教师还对作业不佳的学生，多次个别辅导，外加类似题型训练，直至真正掌握为止。而中学教师，由于课堂容量大，不可能对每个作业题细致入微地讲解，毕竟时间不允许，只能对错误率高的题目进行选择性地重点讲，一部分作业也只能隔天上交隔天批改，反馈上的确相对滞后些。面对这样的反差，七年级教师也只能多利用课后时间对暂时落后的学生单独辅导多一些，专项训练多一些，在学生还在学习的时候辅导至少还是有一定效果的，毕竟只是七年级。当然，同伴互助或导生制也不失为一良策，尽最大努力延迟“分化”“滑坡”的到来。总之，即使该扶则扶，该放则放，最根本的还是要改变学生的学习方式，逐渐向自主探究、合作交流的方式过渡。
中小数学衔接是一个既老又新、既宏大又细微的话题，影响因素有很多，本研究也只是零碎的一些想法，还可以对其他因素作更进一步地专项研究和探讨;两者教材间的对比也只是部分，尽力将整个9年的教材进行仔细比照和思索;也可以考虑小学初中教师形成研究共同体，一起探讨并将成果成文并实践，可能更加全面与周到些。集大家之智慧，便是共赢。
总之，小学教师要立足当下，登高望远，知晓学生学习的下一站，瞻前顾后，胸怀大局，帮助学生向着诗和远方出发前行。相信在双方的齐心合力下，从学生的实际困惑出发，不断改进完善，前行之路必定不是一条难攻克的“蜀道”。
参考文献：
[1]刘玉勇.借小学数学“2+1”培养，助小升初有效衔接[J].内蒙古教育，2020（9）：127-128.
[2]葛善勤.“度”与“渡”：基于小初衔接的小学数学教学[J].江苏教育研究，2020（14）：43-46.
[3]白永潇，曹辰.促进中小学数学教学衔接的初一年级数学前测命题研究[J].中国考试，2019（10）：40-45.
[4]黄亚奇.七年级数学的衔接性教学之我见[J].中学数学，2019（2）：70-71.
作者简介：
汪庆，浙江省杭州市，杭州市萧山区益农镇初级中学。
