江苏臣 匡颖 谢辉
摘 要：直观想象能力是培养学生提出问题、发现问题、解决问题的重要手段之一，可帮助学生通过构建抽象结构、进行逻辑推理、形成论证思路来养成良好的解题思维。文章分析了直观想象能力的概念及要求，探究合作学习模式的教学要点及直观想象能力的培养要点，在此基础上从直观想象能力的培养实践展开讨论。旨在进一步完善数学教学模式，提升学生直观想象能力，为高质量教学提供帮助。
关键词：高中数学;直观想象能力;探究合作学习
一、 引言
在高中数学核心素养指导下，直观想象能力需要利用图形对数学问题展开理解，借助空间想象和几何直观感知事物的变化与形态。直观想象的应用范围较广，在高中数学解题中可帮助建立图形与函数的联系、分析数学问题、利用图形加以描述、了解运动规律、掌握形态变化、认知事物位置关系。让学生通过直观想象能力的提升进一步培养数学核心素养，发展空间想象能力和几何直观能力，增强数学意识，在数形结合下提升解题技巧。
二、 直观想象能力的概念及要求
（一）直观想象的概念
直观想象是指在空间想象下对事物的变化与发展展开进一步认知，是具体化与抽象化之间的有效转变。在高中数学课堂上，对高中生直观想象能力的培养指的是在理解数学知识的同时利用图形加以辅助，从而对未知问题加以解决。即需要利用图形与数学知识之间的关系来构建一个直观模型，对数学问题进一步阐述，从而让数学具体形象被更直观感知，以便于学生能够更进一步地理解数学问题，让理解思维更具逻辑性，从而找出解决问题的直观思路。
（二）直觀想象的要求
新课程标准，强调学生数学素养的培育，也就是数据分析能力、直观想象能力、数学运算能力、逻辑推理能力、数学建模能力、数学抽象能力。直观想象能力是教学目标之一，需要培养学生对几何知识、函数知识等知识点之间的构想、设想、推想、联想等能力。在直观想象能力下建立知识的直观模型，开拓更新颖有效的解题思路，培养学生实际解决数学问题的能力以及良好的数学思维意识。
高中学生直观想象能力的培养可在图形和数学知识之间合理转换。如将图形的形象性、生动性通过直观分析与描述，让形象思维与抽象思维相结合，抓住问题的本质所在，找出解题有效思路以及切入点，提升问题的解决速度及准确性。在高中阶段，学生直观想象能力要求做到以下三点：
第一，能将直观图形和空间图形有效转化;
第二，在对空间图形加以描述的语言及符号方面具备一定程度能力;
第三，对空间几何体的组合和分解可通透理解几何体的位置关系、数量关系等。
三、 自主探究、合作学习的教学要点
（一）自主探究
培养学生自主探究能力，教师需考虑到对学生思维能力的养成，改变传统一言堂的教学观念，培养综合素质，转变教学模式，将学生作为课堂的主体，激发其学习兴趣。在课堂教学过程中，教师可采用问题导入法让学生自主思考，激发探究欲望。同时注重动手实践，在作图的过程中了解图形变化规律，从中找到解题切入点。在自主探究过程中教师仅处于引导者位置，适当对学生的思考思路进行点拨。
（二）合作学习
合作探究学习模式是新课程改革的重要体现。小组合作学习时容易受到高考压力的影响导致小组讨论不充分，部分性格内向或数学能力较弱的学生仅处于辅助位置，思考程度较低甚至存在懈怠、偷懒情况，造成组内学生的讨论充分参与度不平衡。在实践教学中，为了更好地培养学生直观想象能力，合作学习教学模式下教师需合理分组。教师可通过层次教学法，对不同组别安排不同层次的探究目标及问题，让每位学生均可参与其中，在评价层面则融合学生讨论参与度。通过小组合作学习模式、小组互动学习模式，让学生在教师的指点、启发与引导下，通过阅读、观察、交流、讨论与归纳来寻求答案，在自主思考的基础上与同学之间展开相互讨论，在思维碰撞下获取更多元化的解题思路，并在明确的责任分工下充分讨论思考，在相互补充、相互启发下发挥团队合作精神，共同解决问题。
四、 直观想象能力的培养要点
高中数学由于逻辑性和抽象性有了明显提升，学生的直观想象能力培养必须建立在自主思考以及相互讨论基础上，形成自主探究、合作学习的教学模式。直观想象能力的培养首先需强调学生在自主思考下找出解题关键，合作学习则可起到头脑风暴、思维发散的效果，将题目深化、知识点内化，提升综合能力。在实际数学课堂教学中，直观想象能力培养需建立在自主探究、合作学习模式基础之上，具体可表现为以下几方面。
（一）鼓励自主思考
依照新课程理念下以学生作为课堂主体的相关要求，教师需强调学生的自主探究学习模式，让学生通过阅读题目及图形观察，将具体事物转化为感性认知。高中数学涉及的题目难度相较于初中有了质的飞跃，在解题时若仅凭黑板上文字描述或教师口头讲解，面对与函数有关问题或抽象性问题，学生难以有效理解。此时教师可鼓励学生自主动手实践，通过自己画图、观察图形变化的方式更直观地了解题目意义。例如在动点型问题解题时，通过动手实践观察点的运动轨迹，相较于单纯思考而言可显著提升解题效率。教师需让学生认识到图形也可作为视觉符号的一种，与接触的表象事物关联密切。自主动手探究的过程也就是想象能力的培养过程，可将问题具象化，尽快找到解题切入点。
（二）创设学习情境
情境的创设能够帮助学生在枯燥的数学文字题目下转换心情，换一种思路来面对题目，可对学生的想象力有效激发。直观能力的培养可通过创设更具直观性的事物来加以引导，情境创设下不但学生的思考热情得以激发，还可让其思维得到触动，让抽象的数学概念或函数题目与具象化事物相联系。例如在学习曲线函数时，可列举向上抛出一个小球所形成的运动轨迹、射箭所形成的运动轨迹、溜溜球的运动轨迹所形成的曲线等，让学生思考这些轨迹在特点上是否存在不同之处，以更容易想象的事物作为课堂导入来引出曲线函数知识点。
（三）利用简单图形研究复杂图形
在高中数学学习中，立体几何课程往往是学习的重难点所在，对空间想象能力要求较高。在教学设计时，需培养学生从具体到抽象、从整体到局部的思考能力，在理解与认知点、线、面之间的空间位置关系时，可利用长方体或正方体作为载体和模型，通过熟悉的图形解决复杂图形之间的位置关系。需要让学生了解长方体或正方体的空间基本元素的性质和关系，从而引入复杂几何体，将复杂解题过程借助割补法转变为长方体或正方体模型加以处理。让复杂问题简单化，通过直观想象来分解图形、开拓思路，提升解题能力。
（四）利用向量解题
在高中数学解题中，三角函数、几何和代数均可利用向量作为沟通工具。不同题型、不同内容均可结合向量及其运算工具来处理空间几何方面的问题。在培养学生直观想象能力时，可从图形特征角度作为切入点，结合向量培养学生的用图思考习惯、作图习惯和想图能力。
（五）函数与图象相结合
函数知识点是高中数学的重点，但由于函数本身逻辑性强且抽象性强，在学习时难度较大。函数可将高中的微积分、数列、方程、不等式等知识串联起来。由于存在抽象性特征，教师可采用数形结合方式，指导学生以数形沟通实现函数与图形的完美结合，丰富函数知识表征，降低函数理解难度。还可利用图象，以更直观的思考方向理解函数、刻画函数，并了解相关概念及特征。在复杂函数变化过程中，教师可利用数形结合思想让学生掌握更多元化的思考方法，尽快找出解题关键。
五、 直观想象能力的培养实践
直观想象能力的培养关键在于让学生建立数与形之间的有效联系。教师需找出典型问题展开分类教学，帮助学生有针对性地了解题型的解题切入点及思考关键点所在。通过自主思考找出切入点，并通过合作探究实现全面分析，将复杂问题简单化。
（一）圆锥曲线问题
针对圆锥曲线的问题，在直观想象能力方面要求学生能够联想到向量、参数范围、垂直、弦长与圆锥曲线方程等相关知识点。其难点在于函数知识与圆锥曲线之间的联系，对题目展开圆锥曲线图象分析，从而构建相应直观模型。在解决此类数学问题方面，关键在于通过坐标法了解圆锥曲线与直线之间的位置关系，以及相对应的数学方程，并找出与曲线之间的联系。借助几何直观将圆锥曲线的参数范围、垂直范围、弦长范围等问题形象简明的标明。
在自主探究、合作学习模式下，学生首先需要了解圆锥曲线的大致模型，找出解题思路，尝试建立数学模型。之后在合作探究下从本质上探索圆锥曲线几何性质，了解题目的开放性特征。以“2012年湖北高考理科卷”为例，考察圆锥曲线问题的题目为设定某个圆的方程式，点A是该圆上的任意一点，设置一條穿过点A并垂直于x轴的直线，标明直线与x轴的交点。让学生思考动点A在圆上运动过程中所形成的轨迹，并结合象限知识思考某一过原点且与曲线相交的直线在多项条件设定下的相关问题。该题目的考察重点在于不等式的证明、导数、函数等相关知识点。在独立思考状态下，学生需要分析函数图象变化，在数学思维下思考解题思路，利用转化法、化归法解题。但在独立思考下，由于题目中变量改变范围较大，在建立数形关系时需要大量作图才可确定轨迹。通过合作学习，学生可分工合作或利用超级画板的跟踪功能和动画功能，对轨迹变化情况直接观察，并以此对圆锥曲线类型加以判定，让抽象直接转变为直观状态来确定轨迹方程。
（二）动点型问题
动点型问题指的是高中数学课程中图形存在多个或一个运动的点，该点可在弧线、直线、射线、线段上运动，要求学生找出其运动规律或描绘运动轨迹。动点型问题的难点在于需学生在几何思想下直观了解数与形之间的联系和动点的运动规律，属综合性较强的问题类型。在解题思想方面需要数形结合、以静制动。
在自主探究合作学习模式下，教师应引导学生思考观察图形特征，了解动点的大致运动状态，将题目中的文字转化为图形，呈现点的运动过程，发现其中的规律。在合作模式下，分小组探讨图形变化中点在运动过程中不变的性质，在动中找静。例如在“2011年江西高考理科卷”中，考察学生动点型问题的题目为有一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁呈逆时针状态不断滚动，让学生思考小圆滚过大圆内壁一周时某两个点所绘制出来的图形大致样式。在解题时，学生首先可以自主思考的形式观察两个动点与大圆圆心和小圆圆心之间的相对位置变化，这是找出解题的切入点关键所在。先自主了解动点的大致运动轨迹，再采用小组合作共同探究如何将原本用参数方程解决的静态问题转变为动态问题。通过设置动圆半径大小而改变动圆和定圆之间的半径，将内容延伸到内摆线的知识上。
（三）动态图形重叠面积问题
动态图形重叠面积问题指的是让图形通过缩放、翻折、旋转、平移等方式进行规律性运动，两个图形重叠并求出重叠部分面积，同时了解运动变量之间函数关系。动态图形重叠面积问题的重难点在于对重叠部分的形状准确把握，找出形状变化的临界点，在变化中找出解题思路。
在自主探究合作学习模式下，学生可通过自主思考明确自变量的取值范围，将重叠部分根据形状加以分类，之后再找出临界点，实现动态模式下的静态分析，达到分段计算状态。在合作探究过程中，可通过讨论探究重叠部分不同形状之间的临界点以及重叠部分图形变化，应用到分类讨论和数形结合的思想，逐渐养成良好数学直觉。例如在平面直角坐标系中，直角梯形的边处于x轴的正半轴，直角梯形位于第一象限，设定一系列条件后思考某一正方形沿着x轴作平行移动时与直角梯形的重叠面积变化。
教师让学生找出重叠部分的面积的变化情况，亦或逐渐减少或逐渐增大。该题涉及二次函数、一次函数、平移等知识，判断重叠部分图形及分类找出图形形状变化的临界点。通过合作讨论，对某一定点的移动距离来判断临界值具体值，对图形面积分段计算找到变化曲线，以培养学生直观想象能力。
（四）具体教学设计
《基于不等式“ab≤a+b2”的教学设计》
六、 结语
在直观想象能力下，几何图形与数学的结合可化抽象为具体、化繁为简，帮助学生更快速、准确地找出题目的本质及解题关键点所在，迅速找出切入点达到事半功倍的解题效果。教师在培养学生直观想象能力的过程中，需注重学生的自主思考以及小组合作，以自主探究提升自身数学能力，并通过合作学习发散思维，达到学习的延伸效果。总之，教师需在日常教学中渗透几何性质，提升学生的用图、作图、想图能力，形成直观想象的思维能力及思维习惯，真正提升其数学能力。
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作者简介：江苏臣，匡颖，谢辉，贵州省都匀市，贵州省都匀二中。
