摘 要：学习即“发现”，是一种循序渐进的螺旋式发现的过程。“发现数学”是我们的一种课堂追求，让孩子行走在“发现数学”的路上。以“平均数”教学为例：在比较中发现平均数的学习需要，在探究中发现平均数的统计意义，在深化中发现平均數的基本特征，在应用中发现平均数的实践价值。
关键词：“发现”;比较;探究;深化;应用
学习即发现，是一种循序渐进的螺旋式发现的过程。“发现数学”，是指学生在教师的有效引领下，在数学学习与实践中，通过经历、体验、探索，主动发现，获取“四基”，提升“四能”，从而发展学科核心素养。下面以“平均数”教学为例，分享探索实践中对“发现数学”的认识和体会。
平均数的数学知识是引导学生充分认识数的概念，在日常的教学中，教师需要让学生在比较中“发现”平均数的学习需要，在探究中“发现”平均数的统计意义，在深化中“发现”平均数的基本特征，在应用中“发现”平均数的实践价值，从而发展数据分析观念，提升数学素养。
一、 比较：“发现”平均数的学习需要
建构主义认为，学习总是与一定的社会背景即“情境”相联系，情境充分展现了学习内容，将理论的知识用具体化，形象化展现出来，便于学生理解和吸收，引导学生进入到社会生活中，感受这些知识的具体应用，发散学生的思维，充分挖掘这些知识的内涵，实现知识的建构。教师也可以根据这一特点来开展课堂的教学活动，引进多元化的教学模式，实现课堂的创新，将社会环境转化为学生的学习环境，拓宽学生思维和学习的空间，促进学生的个性化发展。
二、 探究：“发现”平均数的统计意义
苏霍姆林斯基曾说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界里，这种需要则特别强烈。”学习贵在探究，探究成在“发现”。教师在教学中应赋予学生探究的权利，要让每一个孩子都在探究，鼓励孩子自探自得，让每一个孩子在每一节课上都有新的发现，让不同的孩子有不同的发现，让同一发现有不同的表达，将学习过程变成自主探究、自我发现、自然生长的历程。
三、 深化：“发现”平均数的基本特征
弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是由学生本人把要学的东西自己去发现和创造出来。”教师需要给予学生足够的空间，优化教学环境，创设真实的情景，使其亲历深化过程，深入开展数学活动，逐步学会更清晰、更合理、更全面地思考问题，自主建构数学知识与方法，培养勇于发现的理性精神。
【教学片断1】
（一）感受平均数的虚拟性
师：（出示男生套圈情况统计图）回看这张统计图。在移多补少的过程中什么不变？
生1：他们套中的总个数没变。
生2：人数不变。
师：在总数和人数不变的情况下，平均每人套中7个。这7个是李小刚（张明、王宇、陈晓杰）套中的个数吗？
（学生都说“7”不是李、张、陈套中的个数，但有人认为是王宇套中的，因为王宇正好套中了“7”个。）
生3：平均数“7”和王宇套中的“7”不一样。王宇套中的“7”个是他个人的，平均数“7”跟四个人都有关系的，是平均每人套中的个数。
生4：王宇套中的“7”是真实的，平均数“7”是先合后分的结果，或者说是移多补少之后的结果，代表男生套圈的整体水平，不是王宇一个人的水平，所以平均数有点虚。
师：说得真好，平均数不同于每一个真实的数，它代表一组数据“整体水平”的“虚拟”的数。【板书：虚拟性】
（二）发现平均数的取值范围
出题：小丽有3条丝带（如下图），它们的平均长度是多少厘米？
A. 14厘米
B. 18厘米
C. 24厘米
师：选择，并说说理由。
生1：选择B，我用的是排除法，因为不可能是14厘米，也不可能是24厘米。
生2：选择B，因为平均数表示移多补少后的结果，这里的“24”最长，需要移给其他彩带，这里的“14”最短，需要补给它，所以只会是18厘米。
生3：选择B，因为平均数位于最小数和最大数之间。
生4：选择B，我是用计算方法得到的，（14+24+16）÷3=18（厘米）。
师：综合大家所说，平均数表示一组数据移多补少后的结果，所以平均数应该有一个范围，比最小数大，比最大数小，就是一组数据的中间水平。【板书：取值范围】
（三）发现平均数的敏感性
师：老师为大家准备了三条不同长短的绳子，它们的长度分别是80厘米，25厘米，22厘米，大家可以先计算三条绳子的平均数，如果我再加入一条或长或短的绳子，那么平均数会有什么变化呢？
生1：如果第4条绳子是50厘米，80厘米甚至100厘米，平均数会增大。
生2：如果第4条绳子小于10厘米，那么平均数会减小。
生3：如果加入的绳子在30厘米左右，那么平均数的变化不大。
师：那么我们可以发现，在加入的绳子中，如果超过了平均数，那么平均数便会增加，如果小于平均数，那么平均数就会减小，如果在平均数左右那么平均数也不会发生太大的变化。平均数作为一种统计量，会受到每一个数据的变化而变化。你看，平均数多敏感啊！【板书：敏感性】
“平均数”这节课的学习内容很多，既要感受平均数是移多补少后得到的一个虚拟数，又要明确平均数的取值范围，还要体会平均数的敏感性。如果将这些数感的培养目标分散到繁杂的素材中，则会增加学生的阅读量，不便于发现平均数的基本特征。鉴于此，笔者采用了例题再用和彩带题两用的方式，以恰当巧妙的材料帮助学生真正理解概念，深入走进“平均数”，多维度丰富学生对“平均数”的感悟，让“平均数”这一统计量能反映一组数据的整体水平的功能体现得淋漓尽致，使学生对于平均数的认识更全面、立体、丰富，形成良好的数感，为提升数据分析观念打下坚实的基础。
四、 应用：“发现”平均数的实践价值
应用是沟通知识与能力的桥梁。教师的教学任务不仅仅在于渗透数学知识，还需要引导学生认识到平均数，在实际生活中的具体应用，以及应用价值，并且学会利用这些知识解决生活问题，更好地发现知识的实践价值。鉴于此，从数学走向生活，笔者化“冰冷的应用”为“火热的思考”，在应用题的教学中开展生活化教学，引导学生进入到生活中解决相关问题，掌握知识的具体应用，培养勇于探索、敢于质疑、善于思考、严谨求实的理性精神。
【教学片断2】
（一）举例
师：平均数在生活中，应用非常广泛，你能举例说说吗？
（生举例，略）
（二）辨析
师：（出题1）2015年中国女性的平均寿命大约是77岁，小明的奶奶已经76岁了，小明内心很郁闷。你对此事有什么看法？
生1：小明肯定没有学过平均数。
生2：77岁只是平均寿命，小明的奶奶如果身体健康，注意运动，心情愉快，完全可以超过平均年龄的。
生3：我要告诉小明，身体棒棒，活到99就没问题，平均数“77”和奶奶没有很大关联。
师：（出题2）小东所在小组同学平均体重是36千克，小刚所在小组同学的平均体重是34千克。小东一定比小刚重。你们认为呢？
生1：不一定。小东可能是他们小组最轻的，比36千克少，小刚可能是他们小组最重的，比34千克多。
生2：不一定。36千克和34千克只是一组数据的平均数，这组数据中的数可能比平均数大，可能比平均数小，也可能和平均数一样大。
生3：我觉得无法比较。我们知道，平均数很敏感，一组数据中的每个数都会影响平均数，因为要移多补少成同样多;而得到的平均数却和每个数没有必然联系，因为平均数只代表整体水平。
师：平均数能刻画、代表一组数据的整体水平。平均数大，表示整体水平高。但反过来，整体水平高，并不代表每个个体的水平高，整体水平低，并不代表每个个体的水平低。
（三）拓展
师：出示P53页“你知道吗”内容：
阅读，你知道了什么？
生1：这还是说平均数很敏感，会受到极端数的影响。
生2：我觉得用去掉最高分和最低分的办法计算比赛成绩很公平，能代表选手的实际水平。
师：这就是考虑到平均数的敏感性，剔除极端数据后计算平均分，这样的成绩统计更合理，这是平均数在生活中灵活运用。
师：有这样一个场景，超市的蔓越莓干30元/kg，葡萄干22元/kg，核桃仁48元/kg，将它们混合在一起，标价为50元/kg，你认为这样标价合理吗？
生1：我认为很合理，他们三个的单价平均数为50，混合在一起，可以卖50元1千克。
生2：我认为不合理，因为50元的基础是将蔓越莓干、葡萄干和核桃仁平均混合在一起，将100千克蔓越莓干、葡萄干和核桃仁
重的1/3作为标价才算合理。
生3：對！如果在这1千克中，核桃仁很少，大部分为蔓越莓干和葡萄干，那么它的价格便低于了平均数。
师：没错，虽然平均数是数的集合平均，但是如果在生活中应用平均数，还需要视具体情况而定。就像刚才这一道题目，商家可能为了谋取利益，混合少量的核桃仁来提高整体的价格。同学们在生活中应用平均数时，需要联想今天这一题目灵活的变通，考虑到实际情况，接下来我们会学习更深层次的平均数内容，也需要学生保持着生活化的思维，更加灵活的应用这些知识。
平均数属于统计数据，他在生活中的多个方面都得到了具体的体现，教师在进行教学时应当注重生活化的体现，带领学生挖掘生活中的统计数据，掌握这些数据的具体应用，树立一定的生活化思维，从数据分析的角度探寻解决问题的途径。上述教学中，笔者把课堂的“温度”建立在思维的高度上，使孩子沉浸在实践应用的欣喜氛围中，感悟平均数在现实生活中的应用以及对决策分析的作用，初步培养用数据说话的意识，极大地促进思维全面打开，并向纵深处发展，获得了不起的“数学发现”。
“发现数学”是我们的一种课堂追求，让学生行走在“发现数学”的路上。只有从学生的生长需求出发，建立自由创生的学习场，放手让学生自己去探索、深化、应用，才能让其在深度学习中积蓄能量、收获“发现”、拔节生长、提升素养。
作者简介：陆敏雅，江苏省常州市，江苏省常州市武进区戴溪小学。
