王帅利
摘 要：小概率事件又称不可能事件。由于其发生概率极低，使得用传统的蒙特卡洛方法预测概率比较困难。因此，寻找新的估计方法变得十分必要。本文将交互粒子系统方法运用于复杂系统的小概率事件概率估计中，为小概率事件的估计提供了新的思路。本文首先通过建模将小概率事件转化为阈值问题，并利用马尔科夫链对其进行模拟。其次，本文采用目前比较热门的交互粒子系统方法，对小概率事件进行估计，并分析了筛选度与筛选步长对概率估计的影响，进而进行优化。最后，本文比较了交互粒子系统方法与蒙特卡洛方法的效率和精度。
关键词：小概率事件 蒙特卡洛方法 交互粒子系统
中图分类号：TP39 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）07（b）-0014-02
Abstract：Rare event has a quite low occurrence probability so that its hardly estimated by Monte Carlo method. It is necessary to provide new algorithms. In this contribute， interacting particle systems （IPS） is applied， in which， trajectories with more possibility to reach target event are multiplied and the others are killed. The rare event is firstly modeled by threshold exceedance problem and then simulated by Markov process. Moreover， we noticed that the performance of IPS is related to two parameters， selection degree and selection distance. An optimization will also be studied by adjusting the two parameters. Finally， we compare this method with Monte Carlo method about the efficiency and accuracy.
Key Words：Rare event probability； Monte Carlo； Interacting particle systems
小概率事件的估計在可靠性工程与系统安全中被广泛研究，并在金融[1]、航空交通管制[2]、电信网络、高可靠性系统等领域中有着广泛的应用。近年来，小概率事件经常会导致一些毁灭性事故，如卫星碰撞等，因而引起了众多研究者的注意。一般来说，小概率事件发生的可能性甚至更小，这使得蒙特卡洛方法只有在进行巨大数量的实验时才有效。否则小概率事件有很大的可能性不会发生，从而无法估计小概率事件发生的概率，因此探索一种新的模拟算法变得十分必要。交互粒子系统方法最早由Del Moral和Garnier提出[3]，后经JeromeMorio等人不断完善[4]。其主要原理是根据模拟的事件触发小概率事件的可能性对粒子进行重新采样，从而加大小概率事件的出现概率，大大节约了计算成本。
1 数学建模
1.1 小概率事件建模
复杂时变系统的输出仅和刚刚发生的状态有关。基于该时序性特征，可以用马尔科夫过程来模拟动态系统的状态量。通常情况下，小概率事件可以理解为一个阈值问题，即当系统输出超过某个阈值时视为小概率事件发生。因此，小概率事件发生的概率可以表述为马尔科夫链输出值超过阈值 的轨迹数与所有轨迹数之比。
利用交互粒子系统方法对20000个粒子进行仿真，预测的平均概率为2.3711×10-5。该估计概率与理论值非常接近，证明了该方法在少量实验次数的情况下仍然可以准确地估计小概率事件的概率。
此外，通过仿真我们发现当α非常大时，所有的粒子都会超过阈值；相反地，如果α很小，则没有粒子会超过阈值，小概率事件不会发生。因此筛选度α对概率预测有着重要的影响。此外，交互粒子系统的预测结果与筛选步长也有着紧密的联系，即粒子筛选的时间间隔也极大地影响概率的估计。通过研究概率估计精度对不同筛选度和筛选步长下的变化，我们发现当α≈0.32，=10.5时该小概率事件的相对误差（相对误差=（估计误差-理论误差）/理论误差）最小。
最后，为了能够定量地分析交互粒子系统方法的高效性。我们将其与经典蒙特卡洛方法进行了对比。我们分别用大小为20000、200000和2000000的样本，利用蒙特卡洛方法和交互粒子系统方法对事件（1）进行模拟，结果如表1所示。我们发现在同样的样本数下，交互粒子系统方法比蒙特卡罗方法的精度要高50倍。而且如果要保证相同精度，蒙特卡洛方法则需要高于交互粒子系统方法50倍的计算成本。
3 结语
本文运用交互粒子系统方法对小概率事件进行估计，结合马尔科夫过程对小概率事件进行建模与模拟，并将其模拟结果与蒙特卡洛方法进行比较。从模拟结果来看，交互粒子系统方法的偏差较小，比蒙特卡洛方法效率更高，精度更好。因此，交互粒子系统方法在小概率事件估计中的研究具有重要的意义，此方法今后能在更多的领域当中发挥重要的作用。
参考文献
[1]P.Embrechts，C.Kluppelberg，T.Mikosch：Modeling extremal events：for insurance and finance[J].Springer Verlag，2011.
[2]M.Prandini，J.Hu，J.Lygeros et al.A probabilistic approach to aircraft conflict detection[J].Intelligent Transportation Systems，IEEE Transaction on，2000，1（4）：199-220.
[3]P.Del Moral，J.Garnier，Genealogical particle analysis of rare events[J].The Annals of Applied Probability，2006，15（4）：2496-2534.
[4]J Morio，M Balesdent.Estimation of Rare Event Probabilities in Complex Aerospace and Other Systems[Z].endprint
