郭科萱
摘 要：危岩落石坠落过程中会对空气造成压缩，被压缩的空气对落石形成一个反作用力，建立空气压缩理论模型；将落石坠落过程等分为n段，利用空气动力学理论、能量守恒定理、空气动理论逐段进行微量分析，推导冲击速度计算方法；指出现有研究成果中影响因素考虑较全面的危岩落石冲击力计算公式；结合实例进行计算并与现有数据对比分析，结果表明该研究成果具有一定的可参考性，对于推动落石灾害减灾理论、技术研究有积极意义。
关键词：危岩落石 空气压缩 落石冲击速度 落石冲击力
中图分类号：P64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）11（a）-0064-04
我国是一个多山的国家，山区多高陡边坡，危岩落石是常见的地质灾害形式。落石灾害具有随机性、突发性、难预测等特点，灾害一旦发生将直接造成严重的人员伤亡和经济损失。如1983年8月，襄渝线巴山—达州公路段公路边坡受暴雨影响发生落石灾害，一体积约12.6m2的岩石从80m左右的高处坠落，一座大桥被砸毁导致交通中断约23h，直接经济损失高达22.1万元；迄今，国内外有大量的学者对落石灾害进行了广泛而深入的研究，国内外学者致力于落石灾害的研究时重在研究其演化形成机制[1]与坠落于冲击面的冲击破坏机制，疏于对落石运动过程的研究，对于影响落石冲击力的因素考虑不够完善，比如危岩坠落时的压缩空气阻力[2]。本文基于国内外的研究现状，从能量角度出发结合空气动力学对危岩落石冲击速度计算方法进行推导，研究成果对于提高计算落石冲击力的精确度，进一步预测落石灾害灾情、有针对性开展灾害防护工作有积极指导意义。
1 落石冲击速度计算方法
危岩坠落具有速度快、破坏性大等特点。目前国内外的学者在研究这一类型灾害时通常忽略空气的作用按照自由落体研究，使得研究成果运用于危岩落石灾害的预防与防治时有着难以校核的误差。本文通过建立危岩坠落理论模型，运用空气动力学理论、能量守恒定理、空气动理论对空气的压缩过程进行分析，结合空气的外泄系数，对危岩落石坠落冲击速度计算方法进行理论推导。
1.1 建立模型
根据空气动力学理论建立危岩坠落空气压缩理论模型[1]，如图1所示。
设落石坠落高度为H，将其等分为n等段，n为足够大的常数，每段dh=H/n。落石在下落过程中是连续的，每一段dh的运动都是连续的，后一段dh依赖于上一段dh，压缩过程如图2所示。设落石在运动第一个dh时所用的时间为t1，在重力加速的作用下速度从v0增加到v1，一道微弱的波将伴随着落石坠落产生。如图2（b）中A1-A1为第一道波以声速传播。波扫过处的空气压强、密度、温度相应增大。继第一个dh运动完后，落石继续运动第二个dh，继而产生新的压缩波，如图2（c）中A2-A2。由于波A2-A2在经波A1-A1压缩过的空气中传播，即传播速度C1>C0，C1=C0+ΔV。传播速度与传播介质的密度与压强有关。同理，将有第三道（如图2（d）、图2（e））到无数道波（如图2（f））产生对空气进行压缩。从中取出落石在第i（i∈（1，2...，n））段dh运动进行研究，对空气压缩作用下的落石冲击速度计算方法进行推导[3]。
1.2 落石冲击速度计算方法推导
设M为落石质量，取落石在运动第一段dh时进行研究。
热力学第一定律为：内能变化=做功+热传递。
空气动理论中气体状态方程为：
（1）
为自由度，单原子气体取3，双原子气体取5，三原子气体取6或7。空气成分大多为N2与O2，一般取5。为理想气体常数，取8.314J/mol。可计算气体物质的量。
由于压缩过程中，外泄空气的质量要远小于落石的质量，且压缩过程时间很短。短到外泄的空气来不及发生密度变化，温度也未发生变化。即忽略外泄空气内能的变化。结合能量守恒定理[4]可得：
（2）
0m|s表示落石运动的初始速度，m|s为波在空气中的传播速度，为被压缩空气的温度变化。
（3）
M0为初始阶段落石下部空气的质量，R为落石等效半径。
（4）
a1为落石运动第一段时dh的运动加速度，这里取自由加速度。
（5）
为落石在第一段dh运动时所需要的时间。
（6）
dL1为落石在第一段dh运动期间产生的压缩波前进的长度，为压缩空气重心下降高度。
（7）
为落石运动完第一段dh后的运动速度。
（8）
M1为落石运动完第一段dh后的落石下方空气的质量， α1为运动一个dh后的空气外泄系数。空气的外泄系数与落石坠落高度，以及地表土体孔隙率等有关，确定过程较为复杂，可通过试验获取。
将各参数即式（3）到式（8）代入式（2）得到：
（9）
由气体状态方程：
（10）
（11）
（12）
（13）
根据空气动力学中波的传播速度公式：
（14）
为绝热系数，空气通常取1.402，为传播介质的压强，为传播介质的密度，可以得知C与空气的密度与压强有关。即：
（15）
落石运动完第一段dh如图2（b）所示。联立式（9）与式（15）可以获取空气温度变化情况，以便进行下一段dh运动情况的推导。
设为当前运动的dh在全部n段dh中的排序序号，為运动完第段dh落石下部空气的质量，为落石下部空气的体积，为落石在第段运动期间的加速度，为落石在运动完第段dh时压缩空气给落石的压强，为落石在运动完第段dh时落石的运动速度，为落石在第段dh时所需要的时间，为落石在第段dh运动期间产生的压缩波在前一段（第段dh）运动时产生的压缩空气中的传播速度，为落石在运动完第段dh时压缩空气的密度，为落石在第段dh运动期间产生的压缩波前进的长度，R为落石等效半径。endprint
提取落石在第段dh运动情况进行分析，能量平衡方程以及各参数变化情况如下：
（16）
（17）
（18）
（19）
落石速度为：
（20）
压缩波的前进长度为：
（21）
其中落石运动完第段时气体体积为：
（22）
运动完第段时压缩后气体体积为：
（23）
落石运动过程即空气的压缩过程，由于压缩过程中有部分空气逸出控制体，所以压缩前后质量M发生了变化。
压缩前的质量为：
（24）
压缩后的质量为：
（25）
即压缩后空气的密度：
（26）
（27）
（28）
根据式（15）得：
（29）
同理将各参数代入式（16）与式（29）联立求解求得。
当压缩的空气以压缩波的形式运动时，落石下方被前波扫过的空气压强增大，当后面的波继续扫过该部分空气时传播速度会增大。最后前后各波会叠加在一起以一个共同的速度推进，不会出现某一道波超前的现象发生。由于压缩空气是由落石推着向下运动，即最后落石将与空气有着共同的运动速度。设当落石运动第s个dh后落石与空气以相同的速度推进。即：
（30）
压缩波最后会随着危岩落石的坠落跟地面接触，假设压缩波最后被地面全部吸收，不反射，即：
（31）
表示落石运动长度时压缩波也传播到了地面，则此后压强变化情况不呈曲线，而是出现突变（如图2（f）），则各参数变化为：
（32）
其中，下文中各式同理。
此时压缩前气体体积为：
（33）
此时压缩后气体体积为：
（34）
压缩前的质量为：
（35）
压缩后的质量为：
（36）
落石运动完第段后其压缩空气压强变化为：
（37）
计算方法同上。
落石下落过程中下方气体被压缩压强逐渐增大，即落石做加速度减小的加速运动。直到压缩空气对落石的反作用力与其自身重力相同时达到极限状态，加速度减小为0。此后，落石将以匀速下落。即：
假设当时
（38）
则当时加速度ai=0。
（39）
（40）
落石运动速度为：
（41）
2 危岩落石冲击力计算方法
目前有多种较为经典的计算公式用于计算落实冲击力，但是各计算方法均有不足。学者叶四桥针[5]基于多种经典计算方法，提出塌落体自身质量与接触面反弹效应对落石冲击力会造成一定的影响，导出适用于不同冲击速度、不同缓冲土层厚度和不同冲击角度的落石最大冲击力算法。
（42）
（43）
H为落石的自由落高（m），为拉梅常数，建议取1000kN/m2，M为落石质量（kN），h为缓冲层厚度，为法向恢复系数，为落石与坡面碰撞前的入射速度沿坡表面的法向分量（m/s），为落石与坡面碰撞后的反弹速度沿坡表面的法向分量（m/s）。
3 工程实例
2009年6月5日，重庆市武隆县铁矿乡鸡尾山发生巨型山体崩滑—碎屑流特大地质灾害，此次自然灾害导致铁矿乡一煤矿和6户居民家被淹没，遇难人数高达80余人。崩塌灾害发生的具体山脉大娄山地势险峻，最高峰猫鼻梁海拔1839.1m，最低处海拔在600m左右，属于典型的山区立体地形。据资料记载对崩塌体在垂直下落过程中空气的压缩情况进行计算。
崩塌体体积为300×104m3，岩体重度取25kN/m3，崩塌体初始运动速度为v0=0m/s，崩塌體下部空气初始压强P0=101325Pa，初始压强下的空气初始密度P0=1.293kg/m3，崩塌体坠落高度90～100m，宽度110～120m，开尔文温度为K，声速为340m/s，崩塌体的等效半径计算公式为，取dh=1m。本文空气外泄系数直接引用，为0表示空气全部被压缩，为1则表示空气全部外泄，即自由落体，而也不可能为1。即取值范围为0～1，见表1。
对计算结果进行分析。空气外泄系数取1时即自由落体运动时，坠落时间为4.33s，坠落冲击速度为45.03m/s，而外泄系数取0.1时坠落时间为5.21s，坠落冲击速度为34.52m/s，而且外泄系数的取值不同计算所得结果均有差别。即压缩效应对危岩着落的冲击破坏有着不可忽视的影响。有学者曾经针对空气的压缩效应做过相应的研究，针对该工程实例计算结果如表2所示。
将两种计算方法计算所得结果进行对比分析，发现本文提出的计算方法计算的冲击速度较大以及坠落时间较小，但差别并不大。对于二者的精确性比较还有待进一步研究，该研究成果为防灾减灾工程中防护结构的设计提供科学依据，可以降低成本，提高工作效率。
4 结论
（1）危岩落石在坠落的过程中会压缩其下部的空气，压缩过程中空气部分外泄部分密度与压强相应增大，空气压强增大会对下落的岩体形成一定的空气阻力，空气阻力直接影响危岩落石的冲击速度。
（2）将气体压缩过程等效为压缩波的传播过程，落石下落高度理想假设等分为n份，结合空气动力学理论、能量守恒定理、空气动理论（气体状态方程）对危岩坠落气体压缩过程进行微量分析，推导落石冲击速度计算方法。
（3）利用笔者所提出的危岩坠落冲击速度计算方法，结合现有冲击力计算公式对重庆市武隆县铁矿乡鸡尾山发生的巨型山体崩滑—碎屑流特大地质灾害进行数值计算，计算所得结果表明空气阻力对落石冲击速度的影响不可忽略，且与现有研究成果对比差距较小，即该研究成果对开展防灾减灾工作具有积极意义。
参考文献
[1]Binal A，Ercanoglu M.Assessment of rockfall potential in the Kula （Manisa， Turkey） geopark region[J].Environmental Earth Sciences，2010，61（7）：1361-1373.
[2]陈洪凯，董平，唐红梅.危岩崩塌灾害研究现状与趋势[J]. 重庆师范大学学报：自然科学版，2015，32（6）：53-60.
[3]Alfredsson K S，Stigh U.Stability of beam-like fracture mechanics specimens[J].Engineering Fracture Mechanics，2012（89）：98-113.
[4]李清山.群发性崩塌的压缩特性实验研究[D].重庆交通大学，2012.
[5]叶四桥，陈洪凯，唐红梅.落石冲击力计算方法[J].中国铁道科学，2010，31（6）：56-62.endprint
