郝树艳++崔晓曦++周刚++王和和
摘 要：高等数学中的四大积分公式之间存在着非常密切的联系，从本质到形式，都体现了数学的统一之美。将这一知识点制作为一次短小精悍的微课，在教学过程中展现这种数学的统一之美，能够对教学起到很好的促进作用。
关键词： 微课 N-L公式 Green公式 Gauss公式 Stokes公式
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）11（c）-0190-02
随着科技的不断进步，微课作为一种新型的教学模式正逐渐渗透至教学过程中，并且有着越来越重要的地位。微课在教学中的普及程度，还存在着一些争议。笔者认为，对于逻辑性强的知识点，充分利用微课辅助教学，可以起到事半功倍的效果。高等数学中四大积分公式就具有这样的特点，这几大公式联系紧密，这种联系中所体现出的数学的统一之美，也很值得玩味。将这一知识点制作为一次微课，作为课堂教学的扩充，将数学文化融入课堂，能够对教学起到很好的促进作用。关于这次微课的设计制作过程，笔者做了一些思考。
1 四大积分公式本质上的统一之美
中国有句俗语叫“隔皮猜瓜”，意思是看瓜皮的品相即可判断瓜瓤。但实际上想透过现象窥探事物的本质，并不是一件容易的事，然而在数学上却能够做到这一点。四大积分公式实际上就是揭示了由表及里、透过现象看本质的科学内涵。由此引入Newton-Leibniz（N-L）公式：
这里为的一个原函数，于是该公式也可以写成下面的形式：
从上面的形式很容易看出，N-L公式表明：一个函数的导数在一个区间上的定积分可以用该函数在区间端点——也就是区间边界上的函数值表示出来。
进而，将这个公式推广到二维平面：被积函数由推广为，积分由推广为，结果如何呢？
首先考虑为单联通凸区域的情形，如图1所示。
根据二重积分的计算方法，，于是，由N-L公式并结合第二类曲线积分的计算方法得到 。
其中为区域的正向边界。
同样的方法得到，两个结果统一到一起，得到，由此，得到單联通凸区域上的Green公式。
同时，利用二重积分对区域的可加性，即可证明Green公式对平面上由分段光滑的曲线所围成的封闭区域都是适用的。
可以看到不管是N-L公式，还是Green公式都表明，函数的导数或偏导数在某区域上的积分可以用该函数在该区域的边界上的值来表示。
继续利用以上的方法，将被积函数推广为三元函数的偏导数，将二重积分推广为三重积分，得到Gauss公式
。
它同样将函数偏导数的积分用该函数在区域边界上的值表示出来。
类似的，将Green公式推广到三维空间曲面，得到Stokes公式
，
Stokes公式同样反映了函数偏导数的积分与函数在曲面边界上的值的关系。
四大积分公式的证明在课堂授课中都会重点讲授，不作为本次微课设计重点，而将重点放在阐明几大公式的联系和逐步推导过程，并引导学员发现四大积分公式本质上的统一，即函数的导数（或偏导数）在某种区域上的积分，可以用函数在该区域边界上的值来表示。
2 四大积分公式形式上的统一之美
简单的说，四大公式形式上可以统一为。
这里涉及到外微分的相关知识，在工科高等数学中一般来说是不涉及的，在本次微课制作中，引入外微分的定义及简单运算法则，开拓学员视野。
以Green公式为例推导如下：
记为微分形式，引入如下外微分运算；其中即二元函数的微分，类似；表示与的外积。
关于外积运算，有如下运算规则：；
代入Green公式，即得Green公式的外微分形式。
其他几个公式的外微分形式推导过程类似。
四大积分公式，从形式到本质，都反映了同一件事，那就是由表及里，透过现象看本质的实质，数学的独特魅力，可见一斑。
参考文献
[1]同济大学数学系，高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.
[2]王金利.微课在促进高等学校教育教学中的应用与思考[J].科技资讯，2004（28）：176.endprint
