郭淑玲++柳佳鑫++招倩仪++杨勇++戎海武
摘 要：该文讨论了道路对具有扩散项的、三次反应项的Lotka-Volterra食饵-捕食者系统稳定性的影响。通过将系统离散化，借助数值模拟，发现设置道路会延长生态系统达到稳态的时间。
关键词：捕食与被捕食模型 道路干扰 稳定性态
中图分类号：O242.1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）09（c）-0051-03
该文考虑如下带有3次反应项的Lotka-Volterra食饵-捕食者模型：
（1）
其中，分别表示食饵和捕食者的数量，为食饵的增长率，为捕食者的死亡率，和为扩散系数，是二维空间的Laplace算子，描述了物种在二维空间的扩散。和分别为食饵和捕食者的最大环境容纳量。
另一方面，道路的大肆兴建促进了社会经济迅速发展的同时对自然景观和生态系统所产生的诸如环境污染、景观破碎、生境退化、生物死亡率递增、生物多样性减少、生物入侵、生态阻隔和廊道效应等各种生态破坏也在急剧地扩大。正确理解和全面分析道路网络建设以及交通所产生的生态影响，最大限度地降低道路网络对自然生态系统的负面效应，进而保护生物多样性、维持生态系统的平衡，是近10年来生态数学家关注的热点问题之一。受文启发，该文主要考虑设置道路与否对具有扩散和三次反应项的Lotka-Volterra食饵-捕食者系统（1）达到稳定性态的影响，这与文考虑的二次反应项不同。我们假设，不设置道路时，物种在空间上具有相同的扩散速率；设置道路时，物种从道路一侧穿越到另一侧的扩散速率由于受到车流量等因素的影响会显著减小。
1 稳定性分析
1.1 局部稳定性分析
定理1零平衡点为鞍点，不稳定。
定理2若，则系统（2）在边界平衡点处是局部渐近稳定的。
定理1，2的证明比较简单，故省略。
定理3若，则边界平衡点为鞍点，不稳定，此时系统（2）在正平衡点处是局部渐近稳定的。
1.2 全局稳定性性分析
由于正平衡点的存在，反映两物种可以共存，从而防止生物多样性的丧失，下面将分析正平衡点的全局渐近性态。
定理4若且≤0，则系统（1）的常数稳态解是全局渐近稳定的。
2 数值模拟及分析
在这一节，首先对系统（2）进行数值模拟。取则是全局渐近稳定的，如图1所示，两个种群一直保持相互依存的关系。
现在研究设置道路对生态系统（1）稳定性的影响。
先考虑不设置道路时，食饵-捕食者系统的空间传播性质。取τ，其中τ为离散时间步长，为离散空间步长。模拟初始时，系统中第一列两种群的密度分别为1，其它列为0。采用500×500的空间，每个格点与相邻的4个格点之间可以扩散，边界按零流边界处理，即整个空间是封闭的，边界上的点只在空间内部扩散。经过计算，在t=378.3 s时，N种群的生物波传到最后一列；t=1310.6 s时，N种群的生物波达到稳态值15.4，见图2。
在t=336.1 s时，M种群的生物波传到最后一列；t=1294.7 s时，M种群的生物波达到稳态值15.1，见图3。
下面进一步考虑设置道路以后对物种扩散的影响。假设在道路垂直方向上，道路两侧点的格点的扩散系数为其它格点的扩散系数为别的参数值不变。经过计算，经过计算，在t=411.3 s时，N种群的生物波传到最后一列；t=1412.1 s时，N种群的生物波达到稳态值15.4，见图4。
在t=388.2 s时，M种群的生物波传到最后一列；t=1348.7 s时，M种群的生物波达到稳态值15.1，见图5。
通过比较，发现在第200列设置一条道路时，生态系统达到稳态的时间比不设道路的时间长。这说明道路会干扰生态系统达到稳态的时间。
3 结语
食饵-捕食者系统在自然界非常普遍。研究道路设置与两种群达到稳态值的时间关系，对于自然保护区是否设置生态廊道提供了一定的理论指导与借鉴作用。
参考文献
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