翟全礼
摘 要：在线性代数课程中，矩形的秩是一个重点概念。该文主要提出了在矩阵的秩的教学中应当注意的3个问题，即：概念引入要介绍背景，合理利用软件计算，重视矩阵的秩在线性代数课程总结复习阶段的作用。希望能为矩形的秩在教学中的应用提供借鉴。
关键词：矩阵的秩 教学难点 教学设计
中图分类号：O151. 21 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）10（b）-0118-02
矩阵的秩是线性代数课程中的重点概念，并且是教学上的难点。在当前课程学时不断减少，学生入学基础相对弱化的形势下，改良传统教学方式，优化教学设计，切实化解教学難点显得十分必要。
矩阵的秩的概念引入，传统上有典型的几个方式：一是通过用矩阵的子式来刻画；二是通过矩阵的行或列向量组的秩（行秩或列秩）来定义；三是通过与矩阵等价的行阶梯形矩阵的非零行个数来定义。经典教材文献[1]采用的是第一种方式。
对数学教学中的概念，特别是难点概念的引入方式不宜采用直接给定义的方法。而应当认真规划引入其概念的教学设计。对于矩阵的秩这一概念，多数教材（包括使用广泛的同济版）在引入时不够重视定义概念前的准备工作，有的更是直接定义概念。这样的方式对学生来说显得突兀，不利于对概念的理解和把握。实际上这种引入概念的方式也是造成学生学习困难的一个原因。在教学实践中教师通过具体问题引入矩阵秩的概念，注重说明其概念来源的具体背景和产生此概念的动机，并借助Mathematica软件强化对概念的认识与理解，取得了较好的效果。
1 矩阵秩概念的引入
考虑问题：求解线性方程组，其矩阵形式为。
用高斯消元法对线性方程组进行一系列等价（同解）变换，相当于对增广矩阵进行对应的初等行变换，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，即
由此得到与原方程组等价的保留方程组为，该保留方程组中所含线性方程的的个数是3，其中各方程间彼此独立，注意一个方程组的保留方程组不唯一，但不同的保留方程组所含方程的个数不变，这个数叫作方程组的秩。相应地，将这个数也叫作（增广）矩阵的秩。线性方程组的秩实际上就是方程组中所含独立方程的个数。
实际上，一般方程组（包括有非线性方程）也有所谓“秩”的概念，其意义就是一般方程组所含独立条件（即保留方程组所含方程）的个数。
这样就可以定义矩阵的秩这个概念了。可以用矩阵的初等变换来定义矩阵的秩。也可以利用矩阵的子式来定义矩阵的秩——即矩阵中不等于0的子式的最高阶数。经过了前面引入矩阵的秩背景的介绍，我们给出矩阵秩的定义就显得比较自然，易于接受。
评点：联系了以前学过的解方程组知识，容易切入问题。不但介绍了矩阵的秩，还给出了方程组的秩的概念。通过例子还可以说明利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩的关系解决线性方程组解存在的判别定理。这样引入矩阵秩概念时有背景，引入秩概念后，还知道该概念有重要应用前景。这样的教学设计，易于为学生接受，既扩展了教学内容，又能帮助学生将课程前后内容联系起来，强化对秩这一概念的理解。
2 利用Mathematica软件计算矩阵秩以增强教学效果
利用矩阵的子式求矩阵的秩的缺点就是计算量大、比较繁琐。传统的纸笔手工运算，只能求行数、列数不大的矩阵的秩。若是对行数、列数较大的矩阵在课堂上就难于具体计算了。但对例子不具体计算，只是泛泛提及，就难于让学生印象深刻。借助Mathematica（也可采用其它软件），就能解决这个问题。例如，在教学中可以考虑计算下列矩阵的秩：
；
计算方法一，利用矩阵秩的子式定义方法求解。
（1）显然B有不等于0的二阶子式，因此rank（B）2，再计算3阶子式（是B的最高阶子式，共有4个），利用Mathematica进行计算，在软件环境下，输入程序行：
Clear[b]
b={{1，7，5，1}，{2，3，1，2}，{3，5，8，3}}
Minors[b，3]
得到结果是：{{67，0，0，67}}，即4个3阶子式的值，可见有3阶子式不等于0，因此rank（B）=3.
（2）矩阵C的最高阶子式是4阶的，若有一个不等于0，则可知rank（C）=4，若4阶子式全为0，则rank（C）<4.利用Mathematica计算，输入程序行：
Clear[c]
c={{1，1，2，2，1}，{0，2，1，5，-1}，{2，0，3，-1，3}，{1，1，0，4，-1}}
Minors[c，4]
得到结果是：{{0，0，0，0，0}}，即说明所有的4阶子式（共有5个）都等于0。
再输入：Minors[c，3]，计算3阶子式（共有40个），结果是：
{{0，0，0，0，0，0，0，0，0，0}，{-4，4，-4，12，-4，-8，-4，0，4，4}，{4，-4，4，-12，4，8，4，0，-4，-4}，{8，-8，8，-24，8，16，8，0，-8，-8}}，有不等于0的3阶子式，所以rank（C）=3.
方法二，利用初等行变换求秩。
输入：RowReduce[C]//MatrixForm
输出：，非零行的个数是3，所以可知rank（C）=3。
方法三，直接使用命令：MatrixRank[C].输出结果是：3.即得rank（C）=3.
若矩阵行数、列数越大，则越能显示利用软件计算的便捷性。
评点：3种方法，第三种方法是软件直接给出结论。第二种方法化矩阵为行阶梯形，与我们手工计算的方法一致，不过软件实际给出的结果是行最简形，手工计算时变换到行阶梯形就可以了。第一种方法，可以帮助我们熟悉矩阵秩的定义。Mathematica充当了课堂上教师、学生之外的第3个教学角色，这样既可以提高学生的学习兴趣又教给了他们可以在实际工作中使用的计算方法。在同样的课时内提高了教与学的效率。
3 用矩阵的秩将线性代数课程不同部分内容串联起来
尤其在复习总结阶段，可以用矩阵的秩作为一条线索将矩阵、行列式、线性方程组、向量组的线性相关性等知识点串联起来，这样可以在有限课时内显著提高线性代数课程的教学效果。
参考文献
[1]同济大学应用数学系编.线性代数[M].6版.北京：高等教育出版社，2014.
