沈祺欣++陈雪++蔡志超
摘 要：运用悬链线、几何受力分析、非线性约束优化等方法求解基于悬链线的系泊系统优化设计的3个问题，得到在给定条件下，系泊系统的状态数据以及在未定条件下怎样选择最优锚链、重物球配置来设计系泊系统。利用躺底和不躺底的悬链线公式，计算出使锚链躺底的临界风速ν0，再根据锚链的不同形态，对两种风速下的系统，借助于非线性方程组计算求解，通过建立非线性约束优化模型，求出重物球质量m1上下限。而在极端条件下，重新整合目标函数和约束条件，获得新的多目标非线性约束优化模型，把吃水深度和钢桶倾斜角度作为约束条件，用浮标游动区域为目标对模型优化。
关键词：系泊系统 悬链线 受力分析 非线性方程组 非线性约束优化 多目标优化模型
中图分类号：P751 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）12（a）-0055-03
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。如图1所示，浮标系统可简化为底面直径2 m、高2 m的圆柱体，浮标质量1 000 kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、锚链和锚组成，锚质量600 kg，钢管共4节，每节长1 m直径50 mm，每节质量10 kg，要求锚链末端与锚链接处切线方向与海床夹角不超过16°。水声通讯系统安装在长1 m、外径30 cm的密封圆柱形钢桶內，设备和钢桶总质量100 kg，钢桶上接第4节钢管下接锚链，钢桶竖直时，水声通讯设备工作效果最佳，若钢桶倾斜，则影响设备工作效果，钢桶倾斜角超过5°时，设备工作效果较差，为控制钢桶倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
1 分析
该系统优化设计类似一个悬链线模型，但与普通的悬链线模型又有不同，其主要分为两部分，钢桶以下连接锚链可看成悬链线模型；钢桶以上连接4根钢管，需单独分析。问题一，首先，建立平面直角坐标系并对系统各部受力进行分析；如图2所示，要考虑系统临界状态，计算出使锚链是否躺底的临界风速ν0；最后根据锚链的不同形态，对两种风速下的系统，借助于非线性方程组计算求解。问题二利用一种所得模型，直接解出风速为36 m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域，再通过建立非线性约束优化模型，求出重物球质量m1下限。根据浮标恰好浸没于海平面时的受力分析，求出重物球质量m1上限。问题三采用极限思想的方法，假设风速和海水速度均达到最大值，取水深16 m和20 m的两种情况，利用问题二的模型，重新整合目标函数和约束条件，获得新的多目标非线性约束优化模型，然后对模型计算求解。
1.1 系统各部受力分析
对系统进行受力分析，建立方程求解，对每一个力F建立坐标，进行关于水平方向和竖直方向的正交分解。接下来自下而上对系统内各部分进行受力分析。以钢桶为例，得到如下受力分析图如图3、图4所示。
各分力在水平和竖直方向受力平衡，桶长度为1 m，以及以P1点作为基点分析力矩平衡，可列出如下方程组：
4根钢管与此类似，而浮标的方程组如下：
1.2 悬链线计算公式
根据文献[1]可知，常见有3种悬链线构型及张力分布情况如图5所示。
躺底的悬链线计算公式[1]：
不躺底的悬链线计算公式[1]：
2 求解
2.1 判断临界值求解问题一
把倾角5°作为一个限制条件，假设极端情况——钢管与钢桶全都成一条直线，这样计算出的误差值Δd为0.019 m.可见即使在钢管和钢桶都倾斜5°的情况下，竖直高度误差也是极小的。把浮标以下所连物体都看成一整体，则参照浮标受力分析图解出临界风速：ν0=22.3 m/s（如图6所示）。
图6 浮标下钢管坚直与倾斜的高度差
最后两种风速下的情况分别套用躺底和不躺底的公式，联合其他条件用Mtalab中的fsolve函数就能求出结果见表1所示。
2.2 用非线性约束优化模型求解问题二
下限质量的求解其实可以在问题一模型的基础上，附加一组约束条件，形成一个非线性约束优化模型。为此，只要找出问题二需要的目标函数，即：minG1。给出的限制条件为钢桶倾斜角度θ5不超过5°，锚链在锚点与海床的夹角α不超过16°。结合钢桶受力分析图，得到如下不等式约束：
由于36 m/s时锚链同样不躺底，与24 m/s情况相同，所以我们仍采用未躺底的悬链线计算公式。结合上文受力分析所得的非线性方程组，整合方程组即为我们需要的等式约束条件.用Matlab中的fmincon函数求解得：重物球质量m1下限2 045.8 kg；根据浮标恰好浸没于海平面时的受力分析，求出重物球质量m1上限6 109 kg。
2.3 多目标非线性约束优化求解问题三
新的优化模型有3个目标函数，即minχ6、minθ5和minθ5。但由于多目标优化问题求解困难，考虑到问题中的要求（钢桶倾斜不超过5°，浮标必须露出海面），我们将其中两个目标转化为约束条件，即将吃水深度和钢桶倾斜角度转化为约束条件.这样游动区域就成了唯一的目标函数，即：minχ6。
3 结语
我们主要建立的是一个静力平衡模型，从水平方向、竖直方向来分析受力平衡，通过位置与力分析力矩平衡，建立非线性方程组，最终解得所有未知量。我们还建立了非线性约束优化模型，求出了最优解。对于最后一问，我们将多目标优化模型，将其中的两个目标转换为约束条件。在处理过程中，我们忽略了海水对锚链的作用力，存在一定误差。
多目标优化模型在当今社会的生活中很有非常广泛的应用，比如：有时候我们既想要获得最小风险又想要获得最大收益，对此我们就可以运用多目标优化模型进行解答。
参考文献
[1]袁梦，范菊，朱仁传，等.基于悬链线理论的系泊系统势能[J].上海交通大学学报，2011，45（4）：597-603.
[2]王丹.一般状态下悬链线方程的应用[J].航海工程，2007，36（S）：26-28.
