姚宏书
“复杂性”“非线性”是世界、物质、生命和人类生活最为显著的特征。二十世纪诞生的“复杂性科学”，超越了十九世纪自笛卡尔、牛顿以来一直统治科学、哲学领域的本质的、线性的、还原的思维模式。世界是多种因素的耦合，二十一世纪的科学——“复杂性科学”的逐步兴起，提供了研究、思考、探究人类、世界、物质的可能的最好方式。数学课堂教学同样如此。
一、复杂性：数学课堂教学新的认识论视角
“复杂性科学”肇始于1928年贝塔朗菲的系统论之研究。基于“复杂性科学”视角，数学课堂教学就是师生的共同探险，对未知世界的探险。这个过程充满了无限的可能，有着不同的路向。从“复杂性科学”视角打量课堂，我们发现课堂具有一系列复杂性特质：整体性、非线性、自组织性，等等。以“复杂性科学”理论研究小学数学课堂教学，具有现实的、有效的指导性意义。
1. 数学课堂具有“不确定性”
课堂，是向未知领域挺进的旅程。在这个过程中，学生随时都能遭遇意外的陌生风景。数学课堂具有不确定性、动态生成性。在课堂学习中，由于每个学生不同的经验背景、认知特质等差异，让数学课堂教学呈现着一种非线性特征。课堂教学预案对学生的课堂学习只能发挥有限的调控作用，而不能完全被预设。比如教学《三角形内角和》（苏教版四上），预设的导学单中给学生的友情提醒是运用“撕角法”“折角法”等进行探究。但在真正的课堂探究实践中，学生经过彼此的多元对话，诞生出远远超预设的方法。比如“作辅助线法”“逻辑推理法”“铅笔旋转法”等等。
2. 数学课堂具有“自组织性”
系统论认为，系统有一种自我完善的功能，这就是“自组织性”。所谓“自组织”，是在没有外界特定干预下，系统能获得时空、功能、结构的协同，通过相互作用而有序化，这是一种自我演化的过程。对于一个系统来说，外因是变化条件，内因是变化根据。课堂不能被程序化，因此教师不必对课堂教学过度、精致预设，而应采用大框架，引领课堂，让课堂自身不断自我生成、发展、协同、运作。可以设置“大问题”，运用“大任务”驱动。比如教学《圆的周长》（苏教版五下），笔者设置了这样的两个活动：[活动一]认识圆的周长;[活动二]探究圆的周长。其中在“活动二”中，设置了两个“主问题”：问题一是怎样探究圆的周长？问题二是猜想圆的周长和什么有关系？有着怎样的关系？通过“主任务”“主问题”，学生展开自主思考、小组交流、展示。数学课堂不断地在“有序”“无序”“有序”间运作，从而让数学课堂自我生成、发展。
3. 数学课堂具有“开放性”
基于“复杂性科学”视角，数学课堂要成为一种“耗散结构”。为此，要让课堂从封闭走向开放，因为只有从封闭走向开放，只有让课堂信息与外界不断地流动、让课堂能量与外界不断地交换，课堂这一耗散结构才能焕发出生命的活力。比如教学《解决问题的策略——画图》（苏教版四下），这样的问题——“小张家距离学校600米，小李家距离学校800米。小张家距离小李家多少米？”就具有开放性。在讨论问题的过程中，学生不断诞生新想法，比如小张和小李家在同一条直线上，小张和小李家在同侧;小张和小李家在同一条直线上，小张和小李家在异侧;小张和小李不在同一条直线上等。数学课堂教学应当较好地保持生活原貌，应当尽可能贴合现实。只有这样，才能打通学生的思维通道，让课堂学习向生活开放、向经验开放，从而不断对接、弥合。
二、复杂性：数学课堂教学新的方法论视角
学生的复杂性以及教育教学本身的复杂性，决定了数学课堂教学是一个具有不确定性、自组织性、开放性的系统。华东师范大学叶澜教授深刻地指出：“把复杂事物看作可分解为简单来分别认识……不可能真正对复杂性整体形成突破性认识……我们要学会用复杂思维的方式来研究复杂事物。”
1. 善于跟进，处理好课堂教学的“不确定性”
课堂教学是一个“确定性”与“不确定性”的对立统一体。只有善于跟进，才能把握课堂教学的“不确定性”。作为教师，对于课堂动态的、不确定性的事件有时要顺水推舟，有时要倒行逆施，有时要临时转舵，有时要将错就错，通过教师的教学机智，将课堂教学诸多的不确定性，转化、发展、提升为数学课堂教学的“动态资源”。
比如一位教师教学《6的分与合》（苏教版一上），教学中，教师的一只纽扣“啪”的一声掉在地上，引发了课堂的小小骚动。“老师的纽扣掉了”，学生有的窃笑，有的议论，有的趁机调皮“捣蛋”（毕竟是刚入学的一年级学生）。应该说，“纽扣”掉在地上是课堂教学中的一个“不和谐音符”。但教师灵机一动，迅速调整、运用这个“课堂意外”，化解教学尴尬。“同学们，你能根据刚才发生的事，用‘6的分与合知识来说一句话吗？”这一下，学生从无序的议论交流转变为有序的、目的性很明确的数学议论、交流。有学生说，“老师身上的衣服原来有六只纽扣，掉了一只，还剩多少只？”“老师身上的衣服掉了一只纽扣，还有五只纽扣，原来有多少只纽扣？”“老师身上的衣服原来有六只纽扣，现在只有五只纽扣，掉了多少只纽扣？”等等。
数学教学是一种探险，一种对未知领域的探险，因此充满了“不确定性”。作为教师，要善于“跟进”，或“放大”，追问深入;或“缩小”，迂回突破。只有善于抓住课堂不确定性的资源、契机，才能让数学课堂教学成为一种创造。
2. 着眼整体，把握好课堂教学的“无序性”
课堂是一个动态的、生成性的结构、系统。在数学教学中，教师要把握好课堂教学的“有序性”与“无序性”。数学课堂，从整体上看是有序的，是由此及彼、由浅入深的螺旋上升过程。但从局部看，却充满了诸多的不确定性，是无序的。作为教师，要从结构入手，把握好数学课堂关键的节点，将课堂从无序引向有序。
比如教学《相遇问题》（苏教版四下），很多教师在教学中都会让学生表演，这种表演多半是对“相遇问题”的片段式撷取。“掐头去尾烧中段”式的数学教学，让学生“知其然”而“不知其所以然”。笔者在教学中，立足于学生数学学习的整体视角，将甲方、乙方从“未相遇”到“相遇”，从“相遇”到“相离”的整个过程展示。在这个过程中，笔者将“相遇问题”分成几个不同方式，引导学生思考、探究，如相向而行、相背而行等。不仅如此，笔者还将“相遇问题”“追及问题”等进行比较，从而让学生对直线上的行程问题形成一个整体的、系统的、结构性的认知。这样的课堂，既体现了教学的不确定性，如相向、相背，如相遇、追及等，又彰显了教学的确定性，如“速度和乘相遇时间等于路程和”“速度差乘相遇时间等于路程差”，等等。
行程问题是复杂的，许多教师在实践中将其割裂“相向”“相背”，揉碎成“相遇”“追及”等，由此造成学生思维的断裂。着眼整体，就是把握好课堂教学的“无序性”。因为无论哪一种行程问题，都可以用“速度乘时间等于路程”来表征。“复杂性科学”认为，整体性是系统科学的一个基本属性。整体不是各部分、局部的简单累积，整体大于各部分之和。把握整体，需要教师拥有一种“非线性思维”，从而防止教学机械化、模式化、单一化，让教学走向“有序”“共生”。
3. 敏锐捕捉，驾驭好课堂教学的“可能区间”
“复杂性科学”认为，系统的现象与本质是一体的。在某些條件下，系统内部的偶然性、特例性等有可能是系统的本质显现。对一个系统进行研究，要避免简单的“还原论思维”“决定性思维”。通常情况下，偶然性只是未被发现的必然性。同时，必然性也不一定就比偶然性优越，并不一定比偶然性具有合法地位。作为教师，要善于捕捉资源，驾驭好课堂教学的“可能性区间”。
比如教学《圆的面积》（苏教版五下），学生在例题学习以及“练一练”“做一做”以及后续练习中，遭遇的问题都是已知直径或半径或周长，要求圆的面积。这是日常、普遍、一般性问题。通过解决这些问题，学生就形成这样的思维定式，即“要求圆的面积，首先就必须求出圆的半径”。但是，这样的具有普遍意义的认识，却并不反映解决圆的面积的问题本质。当学生偶然遇到“已知圆的半径的平方是5，要求圆的面积”时，学生也是想方设法地求半径，但是囿于小学阶段没有学习开方，因此学生就感到一筹莫展了。当笔者启发学生，已知圆的半径的平方是否要先求出圆的半径时，学生方才恍然大悟。在这里，偶然性反而蕴含着圆的面积的本质、反而揭示出解决圆的面积的本质性方法。这正说明，在数学教学中，必须让学生秉持一种复杂性思维。只有秉持复杂性思维，才能捕捉到有意义、有价值的资源，从而驾驭好课堂教学的“可能区间”。
在数学教学中，教师不能偏执于普适性、一般性的数学教学规律发现及运用，而必须关注数学教学中的特殊性、个别性。不仅数学知识教学是如此，数学教学场域中的人更是如此。教学中，“并没有简单事物，只有被简化的事物”。“复杂性科学”视域中的数学教学提醒教师，要保有多元意识、敏感意识和开放意识。只有这样，才能实现教师教学思维由简单到复杂的转换。
