李新丽
摘 要：深度学习具有意义性、建构性和发展性特质。4R学习是学生数学深度学习的新样态。丰富性学习有助于促进学生的数学理解，回归性学习有助于建立学生的数学意义，关联性学习有助于学生的数学建构，严密性学习有助于学生的素养发展。4R学习，有助于让数学知识不断地获得意义增值。
关键词：4R学习;深度学习;学习样态
小学数学深度学习是一种回归学生本位的学习，也是提升学生自我数学学习力，发展学生自我数学核心素养的学习。深度学习是相对于浅层学习、被动学习等而言的。在数学教学中，所谓“深度学习”，是指教师引导学生突破数学符号表层，潜入数学符号逻辑内部、揣摩数学符号所表征的意义的学习。数学深度学习具有意义性、建构性和发展性特质。4R学习[丰富性学习（Richness learning）、回归性学习（Recursion learning）、关联性学习（Relations learning）、严密性学习（Rigor learning）]，是学生数学深度学习的新样态。
[?]一、丰富性学习，促进学生的数学理解
“丰富性学习”是相对于当下的“单一性学习”而言的。所谓“丰富性学习”，是指教师引导学生从多个维度、多个层面完整地把握学生的学习目标、知识技能、过程方法等。丰富性学习，一方面要求学生要准备好丰富的学习素材，经由对学习材料的去粗取精、去伪存真，促进学生由表及里、由此及彼地深度理解;另一方面，要求学生把握数学的符号、背景和意义之间的关系，从符号的表层，潜入符号的内部，从而洞察符号所表征的意义。丰富性学习，是学生深度学习的重要方式。
教学《分数的初步认识》，笔者让学生从家中带来了长方形、圆形、正方形纸若干张，让学生表示二分之一。学生对不同形状的纸采用不同的方式进行表征，有学生用折的方法，有学生用涂的方法。同样是用“折”的方法，有学生将长方形纸上下对折，有学生将长方形纸左右对折，还有学生沿着长方形的对角线对折，等等。通过涂色、对折，学生发现，尽管表征方式不同，但都是将整张纸平均分成两份，表示其中的一份。在对折的过程中，学生发现折痕都经过了中心。所有这些，学生在动手做的过程中采用了图形表征、操作表征。在展示、交流中，有学生对操作、画图的过程进行描述，说出了分数的意义，这就是学生的语言表征。不同的表征，从不同的侧面揭示了分数的本质，即“平均分成几份中的一份”。在学生以图形为媒介初步认识分数的意义后，笔者又借助多媒体课件给学生展示了一根一米长的绳子、一瓶果汁等，引导学生进行想象操作：怎样得到一个计量单位、一个物体的二分之一？谁是谁的二分之一？为什么平均分的对象不同，却都可以用二分之一来表征，等等。丰富的材料，引发了学生的深度思考、探究，促进了学生的数学理解。
丰富性学习，促进了学生的数学理解。在数学教学中，数学材料越丰富，学生的数学学习表象就会越深刻。数学学习方式越丰富，学生数学理解就会越深刻。丰富性学习，克服了单一的符号学习，将符号学习与逻辑学习、意义学习结合到一起，从而促进了学生的意义建构，完善了学生的认知结构。
[?]二、回归性学习，建立学生的数学意义
回归性学习，是指学生的数学学习应当回归经验、回归生活。也就是说，学生的数学学习不能从概念到概念，而应该在学生的经验、生活与数学符号之间来回穿行。在数学教学中，教师要将抽象的数学知识形象化、具体化，将抽象的数学知识经验化、生活化。通过回归性学习，帮助学生建立数学的意义。回归性学习，能唤醒学生的数学学习经验，消除学生对数学知识的陌生感。通过回归性学习，让复杂的知识简单化，将深奥的知识浅显化，将抽象的知识情境化、意义化。
比如教学《两位数乘两位数的乘法》，教师通常从学生的经验、生活入手，引导学生列式，并根据生活事理，让学生说出计算的算理。但是，一旦学生经由算理建构出算法，学生就始终围绕着算法，将算理弃之一边，进而远离了学生的经验、生活，从而导致了学生在计算时往往只知道算法，而遗忘了算理。回归性学习，就是要求学生时时返回知识的本源，返回学生的经验之处、生活之处去进行理解。比如43×12，笔者就引导学生赋予算式以生活意义：一箱牛奶43元，小明买了12箱牛奶，一共需要付多少元？宜良电瓶车的时速是每小时43千米，12小时可以行使多少千米？张师傅一小时加工零件43个，12小时能加工多少个零件？等等。通过经验化、生活化的意义赋予，抽象化的算式变得触手可及。在学生计算的过程中，笔者同样引导学生回归经验、回归生活，如先算几箱牛奶的价钱，再算几箱牛奶的价钱，一共计算几箱牛奶的价钱？经过这样的计算算理启发，不仅有助于学生深刻理解、掌握两位数乘两位数，而且能渗透简便运算比如乘法分配律的算理，为学生后续学习简便算理奠定坚实的基础。
学生的数学理解、数学知识建构需要借助于学生的经验、生活，需要将数学算式还原，需要下沉到生活、经验之中。在数学教学中，学生不仅要返回生活、经验，还要反诸自我。只有这样，学生的数学学习才会变得直观、生动起来，才会富有深度。在这种回归性学習中，学生的数学知识会获得意义的增值。
[?]三、关联性学习，助推学生的数学建构
数学知识是相互关联的，充满了千丝万缕的联系。所谓“关联性教学”，就是要求教师在教学中不仅要引导学生建构知识，更要引导学生完善认知。数学知识不是一座符号的孤岛，而是一座座岛屿群。作为教师，要从高处着眼，及时帮助学生将点状的数学知识系统化、结构化，通过串点成线、连线成面，勾面成体，不断完善学生的认知结构。因此，关联性学习不仅有助于学生建构知识，更有助于学生理解数学知识结构，构建完善的认知结构。
比如教学《异分母分数相加减》，笔者首先引导学生自主探究，充分发掘学生数学学习的自主性、能动性，挖掘学生数学学习的创造性。学生“八仙过海各显神通”，有的通过画图借助分数的意义进行推导;有的运用转化的策略将分数化成小数进行计算;还有学生运用通分，自主探究出异分母分数相加减的法则。在通过算法比较，进行算法优化后，笔者及时出示整数加减法、小数加减法的练习，让学生回忆整数加减法、小数加减法的法则。通过算法比较，学生发现，无论是“分数单位相同”，还是“小数点对齐”“相同数位对齐”，都有着异曲同工之妙。在学生感悟的基础上，笔者揭示数学知识的联系，即无论是整数加减法、小数加减法还是分数加减法，都是“只有计数单位相同才能相加或相减”。如此，就将整数、小数、分数加减法的法则有机结合在一起。从某种意义上说，这样的教学就是一种关联性的教学，它在一定的程度上完善了学生的认知结构。
数学知识之间的关联，为数学知识的可流动性、为学生数学知识的可理解性提供了可能。在数学教学中，教师要树立整体意识，将点状的数学知识系统化、结构化。关联性数学学习，有助于学生在不同的数学知识之间进行灵活转换，有助于学生有意识地将数学新知纳入已有的认知结构之中，有助于学生建構一个和谐的、统一的表征系统，从而将数学知识集结为一个整体。
[?]四、严密性学习，发展学生的数学素养
数学是一门理性的科学，数学教学也应当充满理性。抽象性、严谨性、逻辑性是数学的基本特性。在数学教学中，教师可以引导学生从直观的、感性的生活、经验开始，但一定要提升为理性化的知识，形成数学的思想方法。严密性教学是相对于经验教学、直观教学而言的，也就是要充分发挥数学的理智化、理性化功用。通过严密性学习，能够发展学生的数学核心素养。
教学《三角形的内角和》，学生都运用“实验法”对三角形内角和进行探究，比如测量三角形的每一个内角，比如将三角形的三个内角用手撕下来然后拼合到一起，比如将三角形的三个内角折拼在一起，等等。这些实验体现了学生的数学思维的动作性、形象性特质，是感性的。还有一些学优生，从长方形的内角和开始进行严密性推理：因为长方形的内角和是360度，而任何两个完全相同的直角三角形都可以拼成一个长方形，所以任何一个直角三角形的内角和是180度;又因为任何一个锐角三角形或钝角三角形沿着高分开，都可以得到两个直角三角形，这两个直角三角形的内角和是360度，从中减去垂足左右两边的两个直角，所以任意一个锐角三角形或钝角三角形的内角和也是180度。因为任意一个直角三角形的内角和是180度，又因为任意一个锐角三角形、钝角三角形的内角和都是180度，所以任意一个三角形的内角和是180度。这样的推理，体现着学生严密的逻辑，闪耀着理性的光芒，彰显了学生的智慧。
严密性学习，让学生的数学学习不再停留在经验、直观的层面，而是充分发挥学生个体的理性学习潜质，引导学生进行数学化、形式化、公理化的严谨的逻辑推理。这种严密性学习，是学生数学学习力的标识，也是学生数学核心素养的标识。严密性学习，超越了学生的经验性学习、生活性学习，集中体现了学生的数学化、公理化思想。
4R教学不是四种不同的教学模式或教学方法，而是有效学习、深度学习的方式。在数学教学中，教师应当引导学生经历完整的认知过程，引导学生进行深度理解、深度探究、深度体验、深度反思。4R学习，有助于学生获得对数学知识的意义理解，获得数学知识的意义增值。
