摘 要：换元法的形式多种多样，在解决三角函数问题时，需要根据实际情况决定应该采用怎样的换元方法，有时直接换元就可以解决问题，有时需要采用整体换元法，在某些难题中，也需要采用特殊换元法，这需要做到具体情况具体分析。
关键词：换元；三角函数；极值
换元法在高中数学中有着重要的应用，三角函数问题的解决离不开换元法。对于求三角函数的极值问题，通过换元法可以将三角函数转化为单纯的代数问题，将问题进行巧妙的转化之后，可以化繁为简的解决问题。
一、 直接换元
直接换元法简单直接，就是将题目中的某一个三角函数直接用t或者x表示，将三角函数进行转化，得到相应的幂函数。对于幂函数，求极值的方法就比较简单，通过对幂函数进行求导，可以较为容易的得到函数的极值。
例1 已知函数y=7sinθ+2sinθcosθ，其中0≤θ≤π2，求函数y的最大值。
解析：令t=cosθ，那么0≤t≤1，则y=1-t2（7+2t），两边同时平方，可以得到新的函数式，为y2=（1-t2）（7+2t）2，可以记f（t）=（1-t2）（7+2t）2，求导得f′（t）=-2（4t-1）（2t+7）（t+2），令导数为0，又由于0≤t≤1，所以t=14。通过判断函数单调性，可知f（t）在t=14处取得最大值，[f（t）]max=f（14）=15364，所以当cosθ=14时，函数y=7sinθ+2sinθcosθ取得最大值为15158。
点拨：本题通过换元法求出函数最值，计算比较复杂，但是掌握一些小技巧，可以大大简化计算，比如对于y=1-t2（7+2t），两边同时平方，可以很好的避免对含有二次根式的函數进行求导，简化了计算过程，达到了事半功倍的效果。
二、 整体换元
整体换元法注重所求问题的整体，是将一个式子进行整体换元，整体换元的优点在于从全局考虑问题，抓住问题中的关键性条件，通过整体换元，可以大大简化计算过程，提高解题效率，通过以下的例题可以更好的理解整体换元。
例2 已知sinα+sinβ=22，求cosα+cosβ的最大值。
解析：令cosα+cosβ=t，则（sinα+sinβ）=t，则（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ）2=12+t2，化简之后，可以得到（sin2α+cos2α）+（sin2β+cos2β）+2（sinαsinβ+cosαcosβ），整理之后可以得到2+2cos（α-β）=12+t2，所以2cos（α-β）=t2-32，由于-1≤cosθ≤1，所以-2≤t2-32≤2，即-12≤t2≤72，化简可得-142≤t≤142，所以cosα+cosβ的最大值为142。
点拨：本题中将所求的问题进行整体代换，接着通过三角函数的恒等变形，将三角函数的极值问题进行巧妙转化，简化计算的同时提高了解题效率。
三、 特殊换元
特殊换元是根据题目中的实际情况对参数进行换元，这类问题一般具有一定的难度，需要对题目中的条件有一个细致的观察，找到各个条件之间的内在关系，同时还需要对题意有较深入的理解，对学生的数学能力有较高的要求。
例3 若α+β+γ=π2，求sinα+sinβ+sinγ的最大值。
解析：因为γ=π2-（α+β），所以sinγ=cos（α+β），设sinα+β2=x，则sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+cos（α+β）=2sinα+β2·cosα-β2+1-2sin2α+β2=2xcosα-β2+1-2x2，构造方程y=2xcosα-β2+1-2x2，即2x2-2xcosα-β2+y-1=0，因为x=sinα+β2∈R，所以Δ=4cos2α-β2-8（y-1）≥0，于是又2y≤2+cosα-β2≤3，所以（sinα+sinβ+sinγ）max=ymax=32（此时α=β=γ=π6）。
点拨：本题的形式虽然比较简单，但是解决问题却很有难度，因为函数三个未知参数，所以采用换元法势在必行，通过换元法构造出所需要的方程，利用一元二次方程的判别式可以很好的解决问题。
综上所述，换元法的最重要作用在于将三角函数的极值问题进行转化，将繁琐的三角函数极值问题转化为单纯的代数问题。学生在学习换元法时，需要做到举一反三，试着通过换元法解决不同的问题，只有不断的练习才能取得优异的成绩。
作者简介：
夏仁权，云南省曲靖市，云南省富源县胜境中学。endprint
